专题跟踪检测26 选修4-5 不等式选讲（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（二十六） 选修4-5 不等式选讲 1．已知f(x)＝|x＋2|＋|x－a|(a>0)． (1)当a＝2时，若f(x)＝4，求x的取值范围； (2)若f(x)≥8的解集是(－∞，－3]∪[5，＋∞)，求实数a的值． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝|x＋2|＋|x－2|的几何意义是：数轴上的点x到点－2的距离与点x到点2的距离之和，又∵2和－2的距离恰好为4，∴f(x)＝4的解集是x∈[－2,2]． (2)∵a>0，f(x)＝|x＋2|＋|x－a|的几何意义是： 数轴上的点x到点a的距离与点x到点－2的距离之和，当x＝－3时，f(x)＝8的根是－3，得|－3＋2|＋|a＋3|＝8，解得a＝4， 当x<－3时，f(x)是单调递减函数，满足当x∈(－∞，－3]时，f(x)≥8； 当x＝5时，f(x)＝8的根是5，得|5＋2|＋|5－a|＝8，解得a＝4， 当x>5时，f(x)是单调递增函数，满足当x∈[5，＋∞)时，f(x)≥8. 综上所述，实数a的值是4. 2．(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若f(x)>－a，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|. 当x<－3时，不等式f(x)≥6转化为1－x－x－3≥6，解得x≤－4.∴x≤－4. 当－3≤x≤1时，不等式f(x)≥6转化为1－x＋x＋3≥6，即4≥6，无解． 当x>1时，不等式f(x)≥6转化为x－1＋x＋3≥6，解得x≥2.∴x≥2. 综上所述，不等式f(x)≥6的解集为{x|x≥2或x≤－4}． (2)∵f(x)>－a，∴－a<f(x)min. ∵f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|a＋3|，∴－a<|a＋3|. 当a≥0时，－a<|a＋3|恒成立． 当a<0时，将不等式－a<|a＋3|转化为(a＋3)2>a2， 解得a>－，∴a∈. 综上所述，a的取值范围为. 3．(2022·全国乙卷)已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)abc≤； (2)＋＋≤. 证明：(1)因为a，b，c都是正数，1＝a＋b＋c≥3＝3， 所以abc≤， 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． (2)由基本不等式得b＋c≥2， 所以≤， 同理得≤，≤. 利用不等式的性质得 ＋＋≤＋＋ ＝＋＋＝ ＝，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． 4．已知函数f(x)＝|2x－1|，g(x)＝5ax－2，a∈R. (1)当a＝时，在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象，根据图象间的关系直接写出不等式f(x)>g(x)的解集； (2)若存在x∈[－5,5]，使得g(x－2)>f(x)成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝时，g(x)＝x－2，画出函数f(x)与g(x)的图象如图所示． 令2x－1＝x－2，解得x＝2， 所以函数f(x)的图象在g(x)的图象上方所对应的x的范围为x<2， 所以不等式f(x)>g(x)的解集为(－∞，2)． (2)由h(x)＝g(x－2)＝5a(x－2)－2，知其图象恒过点(2，－2)，因为当x>时，f(x)＝2x－1； 当x＝时，f(x)＝0； 当x<时，f(x)＝－2x＋1，所以当a＝0时，h(x)的图象恒在f(x)图象的下方，不满足题意； 当a>0时，由h(5)>f(5)，得15a－2>9， 解得a>； 当a<0时，由h>0，得－a－2>0， 解得a<－. 综上所述，实数a的取值范围为 ∪. 5．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋3|. (1)解不等式f(x)≥3x的解集； (2)设f(x)的最小值为m，且＋＝m(a>0，b>0)，求的最小值． 解：(1)当x≤－3时，f(x)＝1－x－x－3＝－2x－2≥3x，解得x≤－，此时x≤－3； 当－3<x<1时，f(x)＝1－x＋x＋3＝4≥3x，解得x≤，此时－3<x<1； 当x≥1时，f(x)＝x－1＋x＋3＝2x＋2≥3x，解得x≤2，此时1≤x≤2. 综上，不等式f(x)≥3x的解集为{x|x≤2}． (2)由绝对值三角不等式可得f(x)＝|x－1|＋|x＋3|≥|(x＋3)－(x－1)|＝4， 当且仅当(x－1)(x＋3)≤0，即当－3≤x≤1时，等号成立，则m＝4，故＋＝4，所以b＋4a＝4ab， 则＝＝≥×2＝，当且仅当a＝b＝时取等号， 故的最小值为. 6．已知函数f(x)＝2|x－1|＋|x＋1|. (1)求不等式f(x)≤5的解集； (2)若a>0，b>0，且a＋b＝f(1)，求证：＋≤2. 解：(1)因为f(x)＝2|x－1|＋|x＋1|＝由f(x)≤5， 得或或 解得－≤x≤－1或－1<x<1或1≤x≤2， 所以不