专题跟踪检测24 解决极值点偏移问题的四大技法（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 专题跟踪检测（二十四） 解决极值点偏移问题的四大技法 1.已知函数x)=alnx+1x(a∈R) (1)若a=1,求函数x)的单调区间： (2)若存在两个不等正实数，2，满足)=x2),且：十龙=2，求实数a的取值范围， 解：(1)当a=1时，fx)=nx+1x,定义域为(0，+o),则f(x)=1x-1x2=x-1x2, 当0<x<1时，fx)<0:当x>1时，x)>0, ∴.函数x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，十∞). (2)设>>0，由x)=x)得aln+1x1=alhx+1x2,则alnx1x2=x1-x2x1x2, a>0 又灯十2=2， .2alnx1x2=222x1x2=x1x2-x2x1, 设f=x1x2>1,则2alnt=t-1t, 令g0=t-1t-2aln《>1), 则g'(0=t2-2at+1t2且g1)=0. 由题意可知，函数y=g(0在区间(1，十∞)上有且只有一个零点，设函数y=g)的两个极 值点分别为4,2，则1=1，g'(0=0在(1，十∞)上有且只有一个实根，g(1)=2-2a <0,解得a>1 综上，实数a的取值范围为(1，十∞)： 2.(2023武汉模拟)已知函数x)=x一lnx (1)求证：当x>1时，lnx>2x一1x+1: (2)当方程x)=m有两个不等实数根：，时，求证：1十2m十1 证明：(1)冷g(x)=lnx-2x-1x+1>1) 因为g'()=1x-4x十12=x-12xx十120，所以gx)在(1，+∞)上 单调递增，所以gx)>g(1)=0,即当x>1时，lnx>2x一1x十1 (2)法-：由x)=x-nx,得(e)=1-1x, 易知x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所以fx)m=1. 因为方程x)=m有两个不等实根，所以m>1 不妨设01<1x2由1)知，当1时，lnx>2x-1x十1：当09<1时，nx <2x-1x+1. 方程x)=m可化为x一m=lnx 所以龙一m=lnx22x2-1x2+1, 整理得x22-(m+1)2+2一m>0.① 同理由灯一m=ln2x1一1x1+1, ·独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 整理得一x21+(0m+1)1-2+m>0.② 由①②，得2一)[十)-(m+1)0 又因为2x,所以十2>m十1. 法二：由x)=x-lnx,得)=1-1x, 易知x)在(0，l)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所以fx)im=1. 因为方程x)=m有两个不等实根，所以m>1不妨设01<12 要证为十x2m+1,只要证十x2-n+1,只要证x2-n1+1>l 因为x)在(1，十∞)上单调递增，只要证x)=x2>1-ln). 令h)=x)-1-nx)(0<1),只要证廿x∈(0,1)，hxP0恒成立. 因为h'(x)=fc)-(1-nx)八a\vs4al\co1(-f(1x))=1-1x+1x a\vs4\al\col(1-\f(11-1n x))=x-xln x-1x 1-1n x 令Fx)=x-xlnx-1(0<l), 则F()=-ln0, 故Fx)在(0,1)上单调递增，F)F(1)=0,所以h′(x)0, 所以hx)在(0，I)上单调递减，所以h(x>hI)=0,故原结论得证. 3.(2021新课标I卷)已知函数x)=x(1一lnx). (1)讨论x)的单调性. (2)设a,b为两个不相等的正数，且bna-alnb=a一b,证明：2<1a十1b<e 解：(I)由题意，得f'x)=1-lnr+x\a\vs4al\col(-\f(1x)=-nx,所以当x∈(0,1) 时，(x)>0此时x)单调递增：当x∈(I,+o),(x)<0,此时)单调递减. (2)证明：由blna-alnb=a-b,得naa+1a=lnbb+1b,即f \a\vs4\al\col(\f(1a))=Aa\vs4\al\col(\f(1b)). 设b>a>0,由(1)知0<a<1,b>1, 所以1a>1,0<1b<1,2-1a<1 设g)=)一2-x),x>1, 则g'(=f()+f(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[(2-x)]>0, 所以g)在(1，十∞)上是增函数， 所以gx)>g1)=0, 所以f八avs4\al\col(f(1a)>f八a\vs4\al\col(2-\f(1a),所以f \a\vs4\al\col(\f (1b))>Aa\vs4\al\col(2-\f(1a)). 因为x∈(0,1)时，)单调递增， 所以1b>2-1a,即1