专题跟踪检测23 利用导数研究函数零点问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（二十三） 利用导数研究函数零点问题 1．(2023·唐山二模)已知函数f(x)＝，g(x)＝bsin x，曲线y＝f(x)和y＝g(x)在原点处有相同的切线l. (1)求b的值以及l的方程； (2)判断函数h(x)＝ f(x)－g(x)在(0, ＋∞)上零点的个数，并说明理由． 解：(1)依题意得，f′(x)＝，g′(x)＝bcos x，∴f′(0)＝g′(0)＝b＝1，∴b＝1，l的方程为y＝x. (2)当x>时，＝3－>1≥sin x，h(x)>0，此时h(x)无零点．当0<x<时，h′(x)＝－cos x，令H(x)＝－cos x，x∈，则H′(x)＝－＋sin x，显然H′(x)在上单调递增，又H′(0)＝－<0，H′>0，∴存在t∈使得H′(t)＝0，因此可得0<x<t时，H′(x)<0，H(x)单调递减；t<x<时，H′(x)>0，H(x)单调递增；又H(0)＝0，H>0，∴存在λ∈，使得H(λ)＝0，即0<x<λ时，H(x)<0，h′(x)<0，h(x)单调递减；λ<x<时，H(x)>0，h′(x)>0，h(x)单调递增；又h(0)＝0，h>0，∴h(x)在上有一个零点．综上，h(x)在(0，＋∞)上有1个零点． 2．已知函数f(x)＝－1，a≠0. (1)当a＝1时，求证：f(x)在(0，＋∞)上有唯一极大值点； (2)若f(x)没有零点，求a的取值范围． 解：(1)证明：若a＝1，则f(x)＝－1，f′(x)＝. 令g(x)＝ex＋1－xex，g′(x)＝－xex， 在区间(0，＋∞)上，g′(x)<0，则g(x)在区间(0，＋∞)上是减函数． 又g(1)＝1>0，g(2)＝－e2＋1<0，所以g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点t0. 于是，当x∈(0，t0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(t0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上有唯一极大值点t0. (2)f(x)＝，令h(x)＝ex＋a－ax，则h′(x)＝ex－a， ①若a<0，则h′(x)>0，h(x)在R上是增函数． 因为h＝(e－1)＋a<0，h(1)＝e>0，所以h(x)恰有一个零点x0. 令ex0＋a＝0，代入h(x0)＝0，解得x0＝0，a＝－1. 所以当a＝－1时，h(x)的唯一零点为0，此时ex＋a＝0，故f(x)无零点，符合题意． ②若a>0，此时f(x)的定义域为R. 当x<ln a时，h′(x)<0，h(x)在区间(－∞，ln a)上是减函数； 当x>ln a时，h′(x)>0，h(x)在区间(ln a，＋∞)上是增函数． 所以h(x)min＝h(ln a)＝2a－aln a. 又h(0)＝1＋a>0，故当且仅当2a－aln a>0，即0<a<e2时，f(x)无零点，符合题意． 综上，a的取值范围是{－1}∪(0，e2)． 3．已知函数f(x)＝x－2sin x. (1)求f(x)在(0, π)的极值； (2)证明：函数g(x)＝ln x－f(x)在(0，π)上有且只有两个零点． 解：(1)由f(x)＝x－2sin x，得f′(x)＝1－2cos x，x∈(0，π)， 令f′(x)＝0，得x＝， 当0<x<时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减， 当<x<π时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)的极小值为f＝－，无极大值． (2)证明：g(x)＝ln x－f(x)＝ln x－x＋2sin x，x∈(0，π)，则g′(x)＝－1＋2cos x， 令φ(x)＝＋2cos x－1，则φ′(x)＝－－2sin x. 当x∈(0，π)时，φ′(x)＝－－2sin x<0，则φ(x)在(0，π)上单调递减， 因为φ＝>0，φ＝－1<0， 所以存在x0∈，使得φ(x0)＝g′(x0)＝0. 当x变化时，g(x)，g′(x)变化如下表： x (0, x0) x0 (x0, π) g′(x) ＋ 0 － g(x) 单调递增 极大值g(x0) 单调递减 而g＝ln －＋>0，g(π)＝ln π－π<ln e2－π＝2－π<0，则g(x0)>g>0，又g＝ln－＋1，令h(x)＝ln x－x＋1，其中0<x<1，则h′(x)＝－1＝>0，所以函数h(x)在(0,1)上单调递增，则h(x)<h(1)＝0，所以h＝ln －＋1<0，由零点存在定理可知，函数g(x)在(0，π)上有两个零点． 4．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)上各恰有一个零点，求a的取值范围． 解：(1)当a