专题跟踪检测22 利用导数研究不等式问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 专题跟踪检测（二十二） 利用导数研究不等式问题 1.已知函数x)=xnx十1 (1)求函数x)的单调区间： (2)若x>1时，函数x)>恒成立，求实数的取值范围. 解：(I)fx)=xnx+1,x0,fc)=lnx+1, 当x∈\a\vs4\al\col(0,\f(1e)时，f(x)0:当x∈\a\vs4\al\col(f(1e),+o) 时，子(x>0 .函数x)在\a\vs4al\col(0,\f(1e)上单调递减，在avs4\al\col(f(1e),+ ∞)上单调递增」 (2)由于x>l,xP恒成立， 即knx+1x恒成立， 构造函数x)=nx十1x,x>1, 则求导可得k()=1x-1x2=x一1x2, 当x>1时，k'(x)>0恒成立， .x)在(1，十∞)上单调递增， 则)>1)=1 ∴k≤1，故实数k的取值范圈是（一∞，1]： 2.已知x)=2rnx+x2+a+3. (I)当a=1时，求曲线y=x)在x=1处的切线方程： (2)若存在xo∈\a\vs4al\col(f(1e),e),使得fo)≥0成立，求a的取值范围. 解：f()=2nx+1)+2xr+a,x∈(0，+∞). (1)当a=1时，x)=2xnx+x2+x+3,(x)=2nx+1)+2x+1,所以1)=5，f(1) =5, 所以曲线y=x)在x=1处的切线方程为y一5=5x一1)，即y=5x. (2)存在x∈\avs4\al\col(f(1e),e),使得xo)≥0成立，等价于不等式a≥-2xlnx +x2+3x在\a\vs4\al\col(f(1e),e)上有解 令)=-2x1nx+x2+3x, 则h'(x)=-x2+2x-3x2=-x十3x-1x2, 当le<x<1时，h'(c)>0,hx)为增函数：当1<x<e时，h'(x)<0,hx)为减函数. ha\vs4\al\col(\f(1e))=-3e2-2e+1e,h(e)=-e2+2e++3e, ha\vs4\al\col(\f(le))-h(e)<0, 所以当x∈a\vs4 al\col(f(1e),e)时，hx)>h\avs4\al\col(f(1e)=-3e2-2e +1e, ◆独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以a>-3e2-2e+1e, 即a的取值范围为\a\vs4al\col(-\f(3e2-2e+1e),+∞) 3.(2021金田之卷)设函数x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xx)的极值点. (1)求a (2)设函数g9)=x十f x xf x,证明：8()1 解：(I)由题意，得y'=ln(a-x)一xa一x(a>x). 因为x=0是函数y=x)的极值，点， 所以na=0,解得a=1 当a=1时，y'=ln(1-x)+xx-1,x<1, 当x<0时，n(1-x)>0,xx-1>0,y'>0: 当0<r<1时，n(1-x)<0,xx-1<0,y'<0, 所以x=0为函数y=xx)的极值，点，所以a=1. (2)证明：由(1)知gx)=x十1n1-xxln1-x, x∈(-o∞，0)U(0,1),当x∈(0，l)时，xln(1-x)0:当x∈(-o∞，0)时，xn(1一x)0 故要证gx)<l,即证x+ln(1一x)>xn(1-x),则有-(1一x)十(1-x)ln(1-x)+1>0 令t=1-x,t∈(0,1)U(1,+∞)， 即证nt一t+1>0 设h0=tnt-t+l,则h'(0=lnt 当t变化时，h'(0和h①的变化情况如下： (0,1) (1,+∞) h'(© 0 所以当t∈(0,1)U(1,+∞)时，0(1)=0， 所以不等式成立，即g)1 4.已知函数x)=xlnx-ax,a∈R (1)求x)的单调区间； (2)证明：x)十e->-a 解：(1)函数x)=xlnx-ax=nx-ax,定义城为(0，十)，f(c)=1x十ax2=x十ax2 ①当a≥0时，f(x)>0,x)单调递增。 ②当a0时，一a>0,x∈(0，一a)时，f(x)<0,f)单调递减： x∈（一a,+o)时，f()>0,x)单调递增 综上，当a≥0时，x)的单调递增区间为(0，十∞)，无单调递减区间： 当a0时，)的单调递减区间为(0，一a),单调递增区间为（一a,十o). ·独家授权侵权必究年 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.cOm● 您身边的互联网+教辅专家 (2)证明：由(1)知，当a=一1时，fx)=lnx+1x,且x)≥1)=1，所以xhx≥x一1， 因为r)=xlnx一ax,所