专题跟踪检测21 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（二十一） 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题 1．(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1. (1)讨论f(x)的单调性． (2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标． 解：(1)由f(x)＝x3－x2＋ax＋1，得f′(x)＝3x2－2x＋a. 当Δ＝4－12a≤0，即a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增． 当Δ＝4－12a>0，即a<时， 令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝. ∴当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 综上所述，当a≥时，f(x)在R上单调递增； 当a<时，f(x)在，上单调递增， 在上单调递减． (2)设曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的切点的坐标为(x0，y0)， 则y0＝f(x0)＝x－x＋ax0＋1，∴f′(x0)＝3x－2x0＋a. ∴曲线y＝f(x)过坐标原点的切线方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0)． ∵切线过坐标原点(0,0)， ∴将点(0,0)的坐标代入并化简，得2x－x－1＝0， ∴(x－x)＋(x－1)＝0， ∴x(x0－1)＋(x0－1)(x＋x0＋1)＝0， 即(x0－1)(2x＋x0＋1)＝0，易得x0＝1. ∴切点为(1,1＋a)． ∴曲线y＝f(x)过坐标原点的切线方程为y－(1＋a)＝(a＋1)(x－1)，即y＝(a＋1)x. 由消去y并整理，得x3－x2－x＋1＝0，即(x－1)(x2－1)＝0，解得x＝1或x＝－1. ∴所求公共点的坐标为(1，a＋1)或(－1，－a－1)． 2．已知函数f(x)＝x2－x＋acos x＋sin x. (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若函数f(x)在上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－x－cos x＋sin x， f(0)＝－1，所以切点为(0，－1)， f′(x)＝x－1＋sin x＋cos x，所以f′(0)＝0， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－(－1)＝0×(x－0)，即y＋1＝0. (2)由f(x)＝x2－x＋acos x＋sin x，得 f′(x)＝x－1－asin x＋cos x. 因为函数f(x)在上单调递减，可得f′(x)≤0对任意x∈恒成立， 设g(x)＝f′(x)＝x－1－asin x＋cos x， 则g′(x)＝1－acos x－sin x. 因为g(0)＝0－1－asin 0＋cos 0＝0， 所以使f′(x)≤0对任意x∈恒成立， 则至少满足g′(0)≤0，即1－a≤0，解得a≥1. 下面证明当a≥1时，f′(x)≤0恒成立， 因为x∈，所以sin x≥0， 因为a≥1，所以f′(x)≤x－1－sin x＋cos x. 记h(x)＝x－1－sin x＋cos x，则h′(x)＝1－cos x－sin x＝1－sin. 当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0. 所以函数h(x)在上单调递减，在上单调递增． 因为h(0)＝0，h＝－1－<0， 所以h(x)在上的最大值为h(0)＝0. 即f′(x)≤h(x)＝x－1－sin x＋cos x≤0在上恒成立． 所以a的取值范围为[1，＋∞)． 3．(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx. (1)当a＝0, b＝1时，证明：当x∈(1, ＋∞)时，f(x)<ln x； (2)若b＝a2，函数f(x)在区间(1, 2)上存在极大值，求a的取值范围． 解：(1)证明：由题意得f(x)＝－x3＋ x，则f′(x)＝－3x2＋1，当x>1时，f′(x)<0，f(x)在(1, ＋∞)上是减函数，∴f(x)< f(1)＝0，设g(x)＝ln x，g(x)在(1, ＋∞)上是增函数， ∴g(x)>ln 1＝0，∴当x∈(1, ＋∞)时，f(x)<ln x. (2) f′(x)＝－3x2＋2ax＋a2＝－(3x＋a)(x－a)，且x∈(1, 2)， 令f′(x)＝0，得x＝－或x＝a. ①当a＝0时，则f′(x)＝－3x2<0，f(x)单调递减，函数f(x)没有极值． ②当a>0时，若x<－，则f′(x)<0，f(x)单调递减；若－<x<a，则f′(x)>0，f(x)单调递增；若x>a，则f′(x)<0，f(x)单调递减， ∴f(x)在x＝a取得极大值，在x＝－取得极小值，则1<a<2. ③当a<0时，若x<a，则f′(x)<0，f(x)单调递减； 若a<x<－，则f′(x)>0，f(x)单调递增；若x>－，则f′(x)