专题跟踪检测16 圆锥曲线中的定点、定值问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（十六） 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．已知圆M经过点(0, 1)，且与直线y＝－1相切，圆心M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)经过点N(0, 2)且不平行于x轴的直线与C交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为R，证明：直线QR经过定点． 解：(1)设圆心M(x, y)，根据题意可得，点M到点(0, 1)的距离与到直线y＝－1的距离相等， 即圆心M的轨迹是以(0, 1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线，所以圆心M的轨迹方程为x2＝4y. (2)证明：根据题意可知，直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ：y＝kx＋2(k≠0)，P，Q，则R， 联立方程消去y得x2－4kx－8＝0， 则Δ＝16k2＋32>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－8， 直线QR的斜率kQR＝＝， 直线QR的方程为y－＝(x－x2)，整理得y＝x＋， 即直线QR的方程为y＝x－2， 则直线QR经过定点(0, －2)． 2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线． (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2, 0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：为定值． 解：(1)∵虚轴长为4，∴2b＝4，即b＝2. ∵直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线， ∴＝2，a＝1， 故双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)证明：由题意知，A(－1,0)，B(1,0)， 由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线l的方程为x＝ny＋2，设M(x1, y1)，N(x2, y2)， 联立得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝. ∴ny1y2＝－(y1＋y2)． ∵直线MA的斜率k1＝，直线NB的斜率k2＝， ∴＝＝＝＝＝－，为定值． 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P(0,2)，连接PA，PB交椭圆C于点M，N，△PAB为直角三角形，且MN＝AB. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线l与椭圆C交于D，E两点，若·＝0，求证：直线l过定点． 解：(1)因为△PAB为直角三角形， 所以由椭圆的对称性知，OP＝AB. 即2＝×2a，所以a＝2.MN＝AB＝，则N， 代入＋＝1，得＋＝1，解得b＝1， 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)证明：由题意，可设直线DE的方程为x＝ky＋m(m≠2)， 联立消去x得，(k2＋4)y2＋2kmy＋m2－4＝0. 设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.① 由(1)知，B(2,0)， 所以＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)． 又·＝0， 则(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0. 将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式得， (k2＋1)y1y2＋k(m－2)(y1＋y2)＋(m－2)2＝0， 将①代入上式，(k2＋1)＋k(m－2)＋(m－2)2＝0⇒5m2－16m＋12＝0， 解得m＝或m＝2(舍去)，故直线l恒过点. 4．在平面直角坐标系xOy中，点M(0, 1)，记动点P到直线l：y＝－2的距离为d，且d＝|PM|＋1，设点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)直线l′交曲线E于A，B两点，曲线E在点A及点B处的切线相交于点C.设点C到直线l的距离为h，若△ABC的面积为4，求证：存在定点T，使得恒为定值． 解：(1)由题意可知P到定点M的距离与P到直线y＝－1的距离相等， ∴P的轨迹是抛物线且＝1，则p＝2，曲线E的方程为x2＝4y. (2)证明：设直线l′的方程为y＝kx＋m，A，B， 联立消去y得x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0. 则由y＝x2，则y′＝x， ∴切线AC的方程为y＝(x－x1)＋＝x－， ① 切线BC的方程为y＝x－，② 联立①②得x＝， ∴xC＝＝2k，yC＝·－＝＝－m，即C(2k, －m)． 设AB的中点为N(x0，y0)， ∴x0＝＝2k.∴CN⊥x轴． ∵N(2k,2k2＋m)，C(2k，－m)，|CN|＝2k2＋2m，|x1－x2|＝4， ∴S△ABC＝·2(k2＋m)·4＝4(k2＋m)＝4，即k2＋m＝1. ∴h＝2－m，存在定点T(0,0)使得＝＝＝＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$