专题跟踪检测8 “立体几何”大题的考法研究（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（八） “立体几何”大题的考法研究 1．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，DC＝2，AA1＝3，AB＝BC＝AD＝1，点E和F分别在侧棱AA1，CC1上，且A1E＝CF＝1. (1)求证：BC∥平面D1EF； (2)求直线AD与平面D1EF所成角的正弦值． 解：(1)证明：分别取D1F，CD的中点N，M，连接AM，MN，EN， ∵M，N分别为CD，D1F的中点，则MN为梯形CFD1D的中位线， ∴MN∥CC1∥DD1，且有MN＝(CF＋DD1)＝2. ∵A1E＝1，AA1∥DD1，∴AE＝2＝MN，且AE∥MN. ∴四边形AENM为平行四边形，故EN∥AM. ∵M为CD的中点，则CM＝CD＝AB. ∵AB∥CD，则CM∥AB， ∴四边形ABCM为平行四边形，则AM∥BC， 故BC∥EN. ∵BC⊄平面D1EF，EN⊂平面D1EF， ∴BC∥平面D1EF. (2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，平面ABCD内垂直于AB的直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，D，D1，E(0,0,2)， F， 设平面D1EF的法向量为m＝(x，y，z)，＝，＝，＝(2,0，－2)， 由可得令x＝，则m＝(，－1，)， cos〈，m〉＝＝＝－， 因此，直线AD与平面D1EF所成角的正弦值为. 2.如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点． (1)证明：OE∥平面PAC； (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值． 解：(1)证明：如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.因为AP＝PB，所以PD⊥AB. 因为PO为三棱锥P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC. 因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB. 又PO，PD⊂平面POD，且PO∩PD＝P，所以AB⊥平面POD. 因为OD⊂平面POD，所以AB⊥OD. 又AB⊥AC，所以OD∥AC. 因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC. 因为D，E分别为BA，BP的中点，所以DE∥PA. 因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC. 又OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC. 又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC. (2)连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB⊂平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB. 所以OA＝OB＝＝＝4. 易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，所以OD＝OAsin 30°＝4×＝2，AB＝2AD＝2OAcos 30°＝2×4×＝4. 又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°， 所以在Rt△ABC中，AC＝ABtan 60°＝4×＝12. 以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A(0,0,0)，B(4，0,0)，C(0,12,0)，P(2，2,3)，E， 所以＝，＝(4，0,0)，＝(0,12,0)． 设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即令z＝2，则n＝(－1,0,2)． 设平面AEB的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即令z1＝2，则m＝(0，－3,2)．所以|cos〈n，m〉|＝＝. 设二面角C-AE-B的大小为θ， 则sin θ＝＝. 3．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，E是DC中点，连接AE，将△ADE沿AE折起，使得点D移动至点P，满足平面PAE⊥平面ABCE. (1)求证：AE⊥BP； (2)求二面角E-CP-B的余弦值． 解：(1)证明：在矩形ABCD中，连接BD，记AE∩BD＝F，∴BD＝，AE＝. ∵AB∥CD，∴＝＝＝2. ∴AF＝，FE＝，BF＝，FD＝. ∴AF2＋FD2＝AD2，FA2＋FB2＝AB2，AF＝2FE. ∴AE⊥FD，AE⊥FB. 在四棱锥P-ABCE中，线段AE取点O满足AO＝2OE， ∵AE⊥OP，AE⊥OB，OP∩OB＝O， ∴AE⊥平面BOP. ∵BP⊂平面BOP，∴AE⊥BP. (2)∵PO⊥AE，平面APE⊥平面ABCE，平面APE∩平面ABCE＝AE， ∴PO⊥平面ABCE. 如图所示，以OA，OB，OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴A，B，P，E. ∴＝2＝.∴C. ∴＝，＝，＝， 设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， ∴∴ 令x1＝－1，∴n1＝(－1，，2). 设平面PCE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， ∴∴ 令x2＝－2，∴n2＝(－2，－，)． 设二面角E-CP-B的大小为θ， ∴|cos θ|＝＝＝.∵二面角E-CP-B为钝角， ∴二面角