专题跟踪检测7 空间位置关系与空间角（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（七） 空间位置关系与空间角 一、题点考法全面练 1．在空间中，下列命题正确的是(　 ) A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 解析：选D　A选项两条直线可能平行；B选项两个平面可能相交；C选项两个平面可能相交；D选项正确． 2．“直线l与直线m没有公共点”是“l∥m”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　直线l与直线m没有公共点时，它们可以平行，也可能是异面直线，故“直线l与直线m没有公共点”是“l∥m”的必要不充分条件．故选B. 3．已知平面α，β，γ，其中α∥β，γ⊥β，点A在平面γ内，有以下四个命题： ①在γ内过点A，有且只有一条直线垂直α； ②在γ内过点A，有且只有一条直线平行β； ③过点A作γ的垂线l，则l∥α； ④γ与α，β的交线分别为m，n，则m∥n. 则真命题的个数为(　 ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选B　∵α∥β，γ⊥β，∴γ⊥α.又点A在平面γ内，∴在γ内过点A，有且只有一条直线垂直α，故①正确；当A在γ与β的交线上时，在γ内过点A，不存在直线平行β，故②错误；当A在γ与α的交线上时，过点A作γ的垂线l，则l⊂α，故③错误；γ与α，β的交线分别为m，n，由平面与平面平行的性质，可得m∥n，故④正确．∴真命题的个数为2. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，则与直线A1D1，EF，DC都相交的直线有(　 ) A．一条 B．两条 C．三条 D．无数条 解析：选D　在EF上任意取一点M，直线A1D1与点M确定一个平面，这个平面与DC有且仅有1个交点H，当点M取不同的位置就确定不同的平面，从而与DC有不同的交点H，而直线MH与这3条异面直线都有交点，故在空间中与三条直线A1D1，EF，DC都相交的直线有无数条．故选D. 5．(2023·贵州贵阳校联考三模)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝60°，则AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　如图所示，取A1C1的中点D，连接B1D，AD，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面A1B1C1是正三角形，∴B1D⊥A1C1.又∵CC1⊥底面A1B1C1，B1D⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥B1D.又CC1∩A1C1＝C1，CC1⊂平面AA1C1C，A1C1⊂平面AA1C1C，∴B1D⊥平面AA1C1C.∴∠B1AD为AB1与平面AA1C1C所成的角．由题意，设AB＝AC＝AA1＝2a，B1D＝＝a，AB1＝＝2a，在Rt△B1AD中，sin∠B1AD＝＝＝. 6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是(　 ) A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，B四点不共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．B，D1，C，M四点共面 解析：选C　因为AA1∥CC1，则A，A1，C1，C四点共面．因为M∈A1C，则M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，则点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理，O，A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线；从而M，O，A1，A四点共面，都在平面ACC1A1内，而点B不在平面ACC1A1内，所以M，O，A1，B四点不共面，故选项A、B正确；B，B1，O，三点均在平面BB1D1D内，而点A不在平面BB1D1D内，所以直线AO与平面BB1D1D相交且点O是交点．所以点M不在平面BB1D1D内，即B，B1，O，M四点不共面，故C错误；BC∥D1A1，且BC＝D1A1，所以四边形BCD1A1为平行四边形．所以CA1，BD1共面．所以B，D1，C，M四点共面，故D正确． 7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝AA1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　如图，将该几何体补成一个直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，由题易得底面ABCD为菱形，且△ABC为等边三角形．连接DC1，BD，易得AB1∥DC1，所以∠BC1D(或其补角)是异面直线AB1与BC1所成的角．设AB＝1，则BC1＝DC1＝，BD＝2＝，所以cos∠BC1D＝＝. 8．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，下列命题中错误的是(　 ) A．EF＝ B．EF∥平面BB1D1D C．EF⊥平面AB1C D．四面体BEF