专题跟踪检测5 “数列”大题的考法研究（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（五） “数列”大题的考法研究 1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d，则 解得a1＝13，d＝－2. 所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n. (2)由(1)得|an|＝ 当n≤7时， Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2， 当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2. 综上，Tn＝ 2．已知等差数列中，a1＝1且a1，a2，a7－4成等比数列，数列的前n项和为Sn，满足3bn－2Sn＝1. (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，的公共项ak1，a k2，…，akn按原来的顺序组成新的数列，试求数列的通项公式，并求该数列的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列的公差为d， 因为a1，a2，a7－4成等比数列， 所以a1＝a，即a1＝(a1＋d)2， 1×(6d－3)＝(1＋d)2， 解得d＝2.所以an＝2n－1. 当n＝1时，3b1－2S1＝b1＝1； 当n≥2时，由3bn－2Sn＝1，得3bn－1－2Sn－1＝1， 所以(3bn－2Sn)－(3bn－1－2Sn－1)＝0，得bn＝3bn－1， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以bn＝3n－1. (2)依题意akn＝bn，由(1)得2kn－1＝3n－1， 则kn＝＝＋. 所以Tn＝＋ ＝＋－. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，设Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解：(1)因为3a2＝3a1＋a3， 所以3d＝a1＋2d.所以a1＝d. 所以an＝nd. 因为bn＝，所以bn＝＝. 所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝. 因为S3＋T3＝21， 所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝. 因为d＞1，所以d＝3. 所以{an}的通项公式为an＝3n. (2)因为bn＝，且{bn}为等差数列， 所以2b2＝b1＋b3，即2×＝＋. 所以－＝.所以a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d. 因为d>1，所以an>0.又因为S99－T99＝99， 由等差数列的性质，得99a50－99b50＝99， 即a50－b50＝1，所以a50－＝1， 即a－a50－2 550＝0， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去)． 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d＞1矛盾，无解，当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝.综上，d＝. 4．已知{an}是公差为2的等差数列，a1＞0，且a4是2a2和a5－2的等比中项． (1)求{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝2n＋1，求{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由题意，a2＝a1＋2，a4＝a1＋6，a5＝a1＋8. ∴2(a1＋2)(a1＋6)＝(a1＋6)2，解得a1＝2， ∴an＝2n. (2)∵＋＋…＋＝2n＋1，① ∴＋＋…＋＝2n(n≥2)．② ①－②得＝2n，即bn＝n·2n＋1(n≥2)， 当n＝1时，b1＝4a1＝8不满足上式， ∴bn＝ 当n≥2时，Tn＝8＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1， 则2Tn＝8×2＋2·24＋3·25＋…＋(n－1)·2n＋1＋n·2n＋2，　 两式相减得－Tn＝(23＋24＋…＋2n＋1)－n·2n＋2＝－n·2n＋2＝(1－n)·2n＋2－8， ∴Tn＝(n－1)·2n＋2＋8， 当n＝1时，T1＝8显然适合上式， 故Tn＝(n－1)·2n＋2＋8(n∈N*)． 5．(2023·太原一模)已知等差数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}的前n项和，且{}也是等差数列． (1)求an； (2)设bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d， 因为{}为等差数列，所以2＝＋，即2＝1＋，整理可得d＋4＝2，可得(d－2)2＝0，解得d＝2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)由(1)得Sn＝＝＝n2. 所以bn＝＝＝×＝＋×， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＝＋＝＋＝. 6．已知数列{an}，a2＝3，其前n项和Sn满足nan＋n＝2Sn(n∈N*)． (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)若bn＝2ancos(n2π)，求数列{