专题跟踪检测3 “解三角形”大题的考法研究（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（三） “解三角形”大题的考法研究 1.在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. (1)求角A； (2)若b＝5，BC边上的高为，求边c. 解：(1)因为(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C， 所以sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C. 由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理得cos A＝＝＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由题意，得BC边上的高h＝，所以S△ABC＝ah＝×a＝a. 又S△ABC＝bcsin A＝×5c×sin＝c，所以a＝c，即a＝c. 由余弦定理得a2＝25＋c2－5c，将a＝c代入上式得c2＋16c－80＝0，解得c＝4或c＝－20(舍去)． 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝120°，点D在边BC上，满足CD＝2BD，且＋＝. (1)求证：AD＝a； (2)求角C. 解：(1)证明：∵S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， ∴c·AD·sin∠BAD＋b·AD·sin∠CAD＝b·c·sin∠BAC. ∴c·AD·sin∠BAD＋b·AD·sin∠CAD＝bc， 故＋＝＝. ∴AD＝a. (2)由题意知BD＝a，CD＝a， 在△ABC中，由余弦定理得a2＝c2＋b2＋bc　① 在△ABD中，cos∠ADB＝， 在△ACD中，cos∠ADC＝， 由∠ADB＋∠ADC＝π，知cos∠ADB＋cos∠ADC＝0， 即a2＝b2＋2c2　②， 由①②得，b＝c，∴B＝C＝×(180°－A)＝30°. 3．已知函数f(x)＝sincos－cos2＋(ω>0)．其图象上相邻的两个对称中心之间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，bc＝12，f(A)＝1.若角A的平分线AD交BC于点D，求AD的长． 解：(1)因为f(x)＝sincos－cos2＋＝sin ωx－cos ωx＝sin. 设函数f(x)的周期为T，由题意得＝，T＝π， 因为T＝＝π，解得ω＝2.所以f(x)＝sin. (2)由f(A)＝1，得sin＝1，即2A－＝2kπ＋，k∈Z，解得A＝kπ＋，k∈Z. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 因为角A的平分线AD交BC于点D， 所以S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 即bcsin＝c·AD·sin＋b·AD·sin， 可得AD＝. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc，而bc＝12， 所以16＝(b＋c)2－36，得(b＋c)2＝52.所以b＋c＝2. 所以AD＝＝. 4．(2023·咸阳模拟)已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C的对边，bsin B－asin A＝sin C(2bcos 2B－c)． (1)求证：A＝2B； (2)求的取值范围． 解：(1)证明：由bsin B－asin A＝sin C(2bcos 2B－c)， 结合正弦定理，得b2＋c2－a2＝2bccos 2B. 由余弦定理，得b2＋c2－a2＝2bccos A， ∴2bccos A＝2bccos 2B，∴cos A＝cos 2B. ∵A，B∈(0，π)，∴2B∈(0,2π)， ∴A＝2B或A＋2B＝2π. ∵B<A＋B<π，∴A＋2B<2π，∴A＝2B. (2)由(1)和正弦定理，得＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝2cos B－. ∵C＝π－3B∈，∴B∈， ∴cos B∈. 设cos B＝t，则t∈，则＝2t－. 设f(t)＝2t－，t∈， 则f(t)在内单调递增，则f<f(t)<f(1)， 即0<<. ∴的取值范围为. 5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD·sin D＝2CD·sin B. (1)求证：BC＝2CD； (2)若AD＝BC＝2，∠ADC＝120°，求梯形ABCD的面积． 解：(1)证明：在△ACD中，由正弦定理得＝，即AD·sin D＝AC·sin∠ACD， 因为AB∥CD，所以∠ACD＝∠CAB，所以AD·sin D＝AC·sin∠CAB. 在△ABC中，由正弦定理得＝， 即AC·sin∠CAB＝BC·sin B， 所以AD·sin D＝BC·sin B. 又AD·sin D＝2CD·sin B， 所以BC·sin B＝2CD·sin B，即BC＝2CD. (2)由(1)知CD＝BC＝1. 在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，解得AC＝.所以cos∠CAB＝cos∠ACD＝＝. 在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠CAB，解得AB＝1或AB＝3. 又因为ABC