“立体几何”大题规范增分练（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

“立体几何”大题规范增分练 1．(2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3. (1)证明：B2C2∥A2D2； (2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P. 解：(1)证明：以点C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B2(0,2,2)，C2(0,0,3)，A2(2,2,1)，D2(2,0,2)，所以＝(0，－2,1)，＝(0，－2,1)．所以＝，所以B2C2∥A2D2. (2)设BP＝m(0≤m≤4)，则P(0,2，m)， 所以＝(2,0,1－m)，＝(0，－2,3－m)． 设平面PA2C2的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 令x1＝m－1，得n1＝(m－1,3－m,2)． 设平面A2C2D2的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 由(1)知，＝(－2，－2,2)，＝(0，－2,1)， 所以则 令y2＝1，得n2＝(1,1,2)． 所以|cos 150°|＝|cos〈n1，n2〉| ＝＝， 整理得m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3. 所以P(0,2,1)或P(0,2,3)，所以B2P＝1. 2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，D，E分别为BC，CC1的中点，A1C⊥BE，∠ABC＝60°. (1)证明：A1C∥平面AB1D； (2)求二面角D-AE-B的余弦值． 解：(1)证明：如图，取B1C1的中点F，连接CF，A1F，DF， 则AA1∥DF且AA1＝DF，B1F∥DC且B1F＝DC， 故四边形A1ADF和四边形B1DCF为平行四边形，所以A1F∥AD，CF∥DB1. 因为AD，B1D⊂平面AB1D，所以A1F∥平面AB1D，CF∥平面AB1D. 又A1F∩CF＝F，所以平面A1CF∥平面AB1D. 由A1C⊂平面A1CF，得A1C∥平面AB1D. (2)由(1)知A1C∥平面AB1D，又A1C⊥BE，则BE⊥平面AB1D， 因为AD⊂平面AB1D，所以BE⊥AD. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B⊥AD，又B1B∩BE＝B， 得AD⊥平面BCC1B1，由BC⊂平面BCC1B1，得AD⊥BC.又D为BC的中点，则AB＝AC， 以D为原点，以DB，DA，DF分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系， 设BC＝2，则D(0,0,0)，A(0，，0)，B(1,0,0)，C(－1，0,0)，E(－1，0,1)，有＝(－1，－，1)，＝(1，－，0)，＝(0，－，0)， 设平面AEB，平面AED的法向量分别为n＝(x1，y1，z1)，m＝(x2，y2，z2)， 则⇒ ⇒ 令y1＝1，x2＝1，得x1＝，z1＝2，z2＝1，y2＝0， 故n＝(，1,2)，m＝(1,0,1)， 所以|cos〈n，m〉|＝＝＝. 又二面角D-AE-B为锐角，所以二面角D-AE-B的余弦值为. 3.在三棱台ABC­DEF中，G为AC的中点，AC＝2DF，AB⊥BC，BC⊥CF. (1)求证：BC⊥平面DEG； (2)若AB＝BC＝2，CF⊥AB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为，求三棱锥E­DG的体积． 解：(1)证明：在三棱台ABC­DEF中，G为AC的中点，则AC＝2GC.又AC＝2DF，∴GC＝DF. ∵AC∥DF，∴四边形GCFD为平行四边形． ∴DG∥CF.又BC⊥CF，∴BC⊥DG. ∵DE∥AB，AB⊥BC，∴BC⊥DE. ∵DE∩DG＝D，DE，DG⊂平面DEG， ∴BC⊥平面DEG. (2)∵CF⊥AB，DG∥CF，∴DG⊥AB. 又DG⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC， ∴DG⊥平面ABC. 连接BG，∵AB＝BC＝2，AB⊥BC，G为AC的中点，∴GB⊥AC； 以{，，}为正交基底，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则G(0,0,0)，B(，0,0)， A(0，－，0)，C(0，，0)， 设DG＝CF＝m(m>0)， 则D(0,0，m)，F(0，，m)， ∴＝＋＝＋＝(0,0，m)＋(，，0)＝，＝(0，，m)． 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)， 则令z＝－，解得y＝m，x＝m，∴n＝(m，m，－)． 又平面ACFD的一个法向量m＝(1,0,0)， ∴＝＝＝，解得m＝1，即DG＝1. ∵DG⊥平面ABC，平面ABC∥平面DEF，∴DG⊥平面DEF.∴VE­DG＝VG­DEF＝S△DEF·DG＝××1×1×1＝. 4．如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝，∠BAD＝30°，以对角线BD为折痕把△ABD折