“解三角形”大题规范增分练（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

“解三角形”大题规范增分练 1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，b＝5，∠C＝. (1)求sin A的值； (2)求sin(3A＋B)的值． 解：(1)已知a＝2，b＝5，∠C＝. 由余弦定理得，c2＝25＋8－2×5×2cos＝13，∴c＝. 由正弦定理得，＝⇒sin A＝. (2)∵a＝2<5，故A为锐角． ∴cos A＝. ∴sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝.∴sin(3A＋B)＝sin ＝sin 2A＋cos 2A＝－. 2．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足4asin B＝3bcos A. (1)求cos A的值； (2)若△ABC的面积为，求的值． 解：(1)因为4asin B＝3bcos A，由正弦定理，得4sin Asin B＝3sin Bcos A. 因为sin B>0，所以4sin A＝3cos A．又因为sin2A＋cos2A＝1，A∈(0，π)，所以cos A＝. (2)由(1)及余弦定理知，cos A＝＝，整理得5b2＋5c2－5a2＝8bc，　① 由面积公式S＝bcsin A＝，整理，得5a2－5c2＝3bc，　② ①②相加，得5b2＝11bc，所以＝. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B. (1)求证：a2－b2＝bc； (2)若cos B＝，点D为边AB上一点，AD＝DB，CD＝2，求边长b. 解：(1)证明：∵A＝2B，∴sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B. ∴a＝2b×.∴(b－c)(a2－b2－bc)＝0. ∴a2－b2－bc＝0或b＝c. 当b＝c时，C＝B，A＝2B＝2C＝，∴a2＝b2＋c2＝b2＋bc即a2－b2＝bc. 综上，a2－b2＝bc. (2)∵cos B＝，∴sin B＝，sin A＝sin 2B＝，cos A＝cos 2B＝－. ∴sin C＝sin(A＋B)＝，cos C＝. 由＝＝，得＝＝. 设a＝12t，b＝9t，c＝7t，则AD＝3t，BD＝4t. 在△BCD中，由BD2＋BC2－2BD·BC·cos B＝CD2，即(4t)2＋(12t)2－2×4t×12t×＝(2)2， 解得t＝，故b＝9×＝. 4．已知函数f(x)＝sin xcos. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)在锐角△ABC中，若f(A)＝，AC＝，BC＝，求△ABC的面积． 解：(1)因为f(x)＝sin x ＝sin xcos x＋sin2x ＝sin 2x＋ ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋. 所以函数f(x)的最小正周期为＝π. (2)因为f(A)＝sin＋＝，所以sin＝. 因为0<A<，所以－<2A－<，故2A－＝，解得A＝. 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，整理得3＝AB2－AB＋2， 即AB2－AB－1＝0，因为AB>0，解得AB＝. 易知AB为最长边，角C为最大角，此时cos C＝>0，则角C为锐角， 所以S△ABC＝AB·ACsin A＝×××＝. 5．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝， Q为BC的中点． (1)求AQ的长； (2)P是线段AC上的一点，当AP为何值时，∠AQP＝. 解：(1)在△ABC中，由余弦定理得|BC|2＝22＋(4)2－2×2×4×＝20， 所以BC＝2，即CQ＝BQ＝. 在△ABQ中，由余弦定理得cos∠AQB＝＝， 在△ACQ中，由余弦定理得cos∠AQC＝＝， 因为cos∠AQB＋cos∠AQC＝0，所以＋＝0，解得AQ＝. (2)由(1)知CQ＝. 在△ACQ中，由余弦定理得cos∠QAC＝＝，所以sin∠QAC＝＝. 因为∠QAC＋∠AQP＋∠APQ＝π， 所以sin∠APQ＝sin(∠QAC＋∠AQP)＝sin＝. 在△AQP中，由正弦定理得＝，即＝， 所以AP＝，即当AP＝时，∠AQP＝. 6．已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)锐角△ABC的内角A, B, C的对边分别为a，b，c，a＝，且A为f(x)的零点，求的取值范围． 解：(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x－＝2sin－， 令2x－∈，k∈Z，则x∈，k∈Z， 故f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)∵A为f(x)的零点， ∴f(A)＝0⇒sin＝， 又A∈，2A－∈，则2A－＝，即A＝. 由正弦定理＝＝＝2⇒b＝2sin B，c＝2sin C， 则＝＝＝＝·＋， 由得B∈， 所以tan B∈，即∈(0，)． 故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$