“函数与导数”大题规范增分练（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+散辅专家 “函数与导数”大题规范增分练 1.(2023长沙模拟)已知函数x)=(x一1)e (1)求该函数的最大值： (2)设m,n为两个不相等的正数，且mlnn一lnm=物一n,证明：>e4 解：(I)x)的定义城为R,x)=2-xex 当x∈(-∞，2)时，f(x)>0:当x∈(2，+)时，f(x0, 所以x)的单调递增区间为（一∞，2），单调递减区间为(2，十∞). 故x在x=2处取得最大值，且最大值为1e2 (2)证明：易知m,>0, mln n-nln m=m-nem(In n-1)=n(In m-1)In n-In=In m-1mIn n-leln n= In m-leln m, 即lnm)=fnm),nm≠lnn 不坊设=nm,2=nn,2, 由(1)可知x2∈(2，十∞)，)=)0，∈(1,2)， 当2≥3时，1十2>4，mme4, 当2x23时，1<4-2 x)-f4-2)=x2-1ex2-4-x2-1e4-x2=x2-1e4-x2-3-x2ex2e4, 设hx)=(c-1)e4--(3-x)e,x∈(2,3)， 则h'(=(2-x)e4--(2-x)e=(2-x(e4--e, 因为x∈(2,3)，4一xx,所以h'(x)>0,x)在区间(2,3)上单调递增， hx)>(2-1)e4-2-(3-2)e2=0. 所以x)一4-x2)=)一4-)P0,)P4一x2), 又因为.4-2∈(1,2)，所以灯>4一龙2，即灯十x2>4,故mn>e4 2.已知函数x)=xex十a(lnx一x)(a∈R). (1)当a=1时，求曲线y=)在点(1,1》处的切线方程： (2)讨论函数x)的极值点的个数， 解：(1)当a=1时，x)=xex十lnx一x,定义城为(0，十∞)，1)=1e一1. 因为f(x)=1-xex+1x一1， 所以f(1)=1-1e+1-1=0 所以y=fx)在，点(1,1)处的切线方程为y=1e一1 (2)西数x)=xex+anx-x(a∈R)定义域为(0，+∞)，f(x)=1-xex+a \a\vs4\al\col(\f(1x)-1)=1-xx\a\vs4\al\col(\f(xex)+a) g(x)=xex+a(x>0),g'(x)=1-xex. ◆独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.con● 您身边的互联网+散辅专家 令g'c)>0,得0<1：令g0,得x>1: 所以gx)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减 所以gr)mm=gI)=1e+a,所以ag()≤1e十a ①当a≥0时，1ex+ax0,令”(x>0,得0xr<1:令fc)0,得>1： 所以x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 此时)有且只有一个极值点 ②当a≤-1e时，gx)=xex十a≤0， 令(x)>0,得x>1:令f(x0,得0<1： 所以x)在(0，I)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增. 此时x)有且只有一个极值点. ③当一1ea0时，方程gx)=0有两个相异正根1,2，不妨设01<12， 则当0x时，有(x)0:当1时，有(c小0：当1x时，有f(x)0:当 x2时，有f(x>0: 所以x)在(0，)上单调递减，在(：.1)上单调递增，在(1，x2)上单调逃减，在(2，十∞) 上单调递增， 此时x)有三个极值点. 综上所述，当a≥0或a≤-le时，x)有且只有一个极值点；当-1e<a<0时，x)有三 个极值点。 3.已知函数x)=nx+12x2+a(a∈R),gx)=e+32x2 (1)讨论x)的单调性： (2)如果函数Fx)=x)一g(x)存在零点，求实数a的最小值. 解：(I)由题意，fr)的定义城为(0，十o),w=x2十ax+1xx>0), 对于西数y=x2十a十1≥0， ①当4=a2-4≤0，即-2≤a≤2时，x2+m+1≥0在x>0上恒成立. f(x)=x2+ax+1x≥0在(0，十∞)上恒成立， ,x)在(0，十∞)上为增函数. ②当>0，即a<-2或a>2时， 当a<-2时，由f(x>0,得x<a2-4)2或x>a2-4)2,0<a2-4)2<a2-4)2, '.x)在avs4al\col(0,\f(-a-\r(a2-4)2)上为增函数，在aws4 alcol0f-a- r(a2-4-a+r(a2-42)上为减函数，在avs4\al\co1(f(-a+r(a2-4)2),+∞)上为增 函敏 当a>2时，由()=x2十ax十1x>0在(0，十∞)上恒成立， x)在(0，十∞)上为增函数. ·独家授权侵权必究。 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源