“概率与统计”大题规范增分练（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

“概率与统计”大题规范增分练 1．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读已成为中学生的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了n名中学生，对这些人每周的平均阅读时间(单位：小时)进行统计，并将样本数据分成[0, 2)，[2, 4)，[4, 6)，[6, 8)，[8, 10)，[10, 12)，[12, 14)，[14, 16)，[16, 18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知这n名中学生中每周平均阅读时间不低于16小时的人数是2人． (1)求n和a的值； (2)为进一步了解这n名中学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从周平均时间在[8, 10)，[10, 12)，[12, 14)三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在[10, 12)内的中学生人数为X，求X的分布列和数学期望． 解：(1)由题意得n＝＝100，a＝[1－2×(0.02＋0.03＋0.05＋0.05＋0.15＋0.05＋0.04＋0.01)]÷2＝0.10. (2)依题意，周平均阅读时间在[8,10)，[10,12)，[12,14)三组内的中学生人数比为3∶2∶1，则6人中周平均阅读时间在[10,12)内的中学生人数为2人，X的所有可能取值为0,1,2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 2．甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束)．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为p(0<p<1)． (1)若p＝，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望E(X)； (2)若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为f(p)，求f(p)的最大值． 解：(1)由题意可知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3， 则P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝C4＝，P(X＝2)＝C5＝，P(X＝3)＝3＋C4＋C5＝. 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)甲队只胜一场的概率为f(p)＝Cp(1－p)3，则f′(p)＝C＝3(1－p)2(1－4p)． 故当0<p<时，f′(p)>0，f(p)单调递增；当<p<1时，f′(p)<0，f(p)单调递减，则f(p)max＝f＝. 3．根据我国国家统计局的数据显示，2020年12月份，中国制造业采购经理指数(PMI)为50.3%，比上月上升0.2个百分点．以新能源汽车、机器人、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展．已知某精密制造企业为评估某设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算， μ＝65，σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值，解决以下问题． (1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的频率)：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≥0.682 6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≥0.954 4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≥0.997 4.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足①②，不满足③，则等级为乙；若仅满足①，不满足②③，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级； (2)将直径小于等于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品， ①从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)； ②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的分布列和数学期望E(Z)． 解：(1)由表格可知 P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝P(62.8<X≤67.2)＝0.8≥0.682 6， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝P(60.6<X≤69.4)＝0.94<0.954 4， P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝P(58.4<X≤71.6)＝0.98<0.997 4， 因为设备M的数据仅满足不等式①，故其性能等级为丙． (2)易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06. ①由题意可知Y～B(2, 0.06)， 于是E(Y)＝2×0.0