2024年数学新高考专题特训：圆锥曲线的方程（解答题篇）

2024年数学新高考专题特训：圆锥曲线的方程（解答题篇） 1．在直角坐标系xOy中，y轴同侧的两点P和Q分别在直线和上，且，记PQ的中点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线与曲线C有两个不同的交点A，B，求面积的最小值． 2．设圆，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作 的平行线交于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)过点且不与轴垂直的直线交轨迹于两点，点关于轴的对称点为，为的外心，试探究是否为定值，若是，求出该定值． 3．已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，过点作直线轴，与交于两点（在上方），且四边形的面积为的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知，是否存在过点的直线与曲线交于（在上方）两点，使得与的面积比为？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 4．已知双曲线：的右焦点为，直线：与的渐近线相交于点，，且的面积为. (1)求C的标准方程； (2)过点F作直线与C的右支相交于M，N两点，若x轴上的点G使得等式恒成立，求证：点的横坐标为. 5．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率为，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且面积的最大值为． (1)求C的方程； (2)若点O为坐标原点，直线AP交直线于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由． 6．已知圆，圆，动圆P以点P为圆心，且与圆外切，与圆内切. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)已知点为轨迹C上任意一点，求的最大值. 7．已知点，集合，点，且对于S中任何异于P的点Q，都有． (1)证明：P在椭圆上； (2)求P的坐标； (3)设椭圆的焦点为，证明：． 参考公式：． 8．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2； (2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． 9．已知椭圆经过点，左焦点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点在上，． (1)求双曲线的标准方程． (2)若过焦点且斜率存在的直线与双曲线的右支交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 11．已知椭圆的上､下顶点分别为，短轴长为在上（不与重合），且. (1)求的标准方程； (2)直线分别交直线于两点，连接交于另一点，证明：直线过定点. 12．设椭圆的左､右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且． (1)求椭圆的方程； (2)求动点的轨迹的方程； (3)设直线过椭圆的右焦点与椭圆相交于､两点，且，求直线的方程． 13．在直角坐标平面中，的两个顶点A，B的坐标分别为，，两动点M，N满足，，向量与共线． (1)求的顶点C的轨迹方程； (2)若过点的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求的取值范围． 14．已知椭圆的左焦点为，直线与圆相切于点，且与交于，两点，其中在第一象限，在第四象限． (1)求的最小值； (2)设为坐标原点，若，求的方程． 15．设 分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆 短轴的一个顶点，已知 的面积为 . (1)求椭圆的方程； (2)如图， 是椭圆上不重合的三点，原点是的重心 （i）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线 的距离； （ii）求点 到直线 的距离的最大值. 16．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点，且满足（为坐标原点）. (1)求的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程. 17．已知椭圆：. (1)若椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，求证：； (2)为直线：上的一个动点，，为椭圆的左、右顶点，，分别与椭圆交于，两点，证明为定值，并求出此定值. 18．已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，证明点在定圆上，并求出定圆的方程． 19．已知椭圆的右焦点为F，短轴长等于焦距，且经过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线与E交于A，B两点，线段AB的中点为C，D是y轴上一点，且，求证：线段CD的中点在x轴上． 20．已知直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，记与轴的交点为C. (1)若，且，求实数的值； (2)若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程. 21．已知双曲线的左、右焦点分别为，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．    (1)求双曲线C的标准