2024年数学新高考专题特训：一元函数的导数及其应用（解答题篇）

2024年数学新高考专题特训：一元函数的导数及其应用（解答题篇） 1．设函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若对于任意，都有，求的取值范围. 2．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程． (2)求函数的单调区间 3．已知为函数的导函数，且，求的极值. 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围. 5．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)探究：是否存在实数，使得函数在上的最小值为2；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 7．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)已知函数，若函数有三个极值点，求的所有极值之和的取值范围. 8．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值. 9．已知函数，. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 10．已知函数，且曲线在点处的切线l与直线相互垂直． (1)求l的方程； (2)求的极值． 11．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 12．已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，判断当时函数的单调性； (2)当时，在恒成立，求的最大值. 13．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)讨论函数的零点个数. 14．若二次函数满足 (1)求的解析式； (2)若函数，解关于的不等式：. 15．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)若在区间上不是单调函数，求的取值范围． (2)当时，恒成立，求的取值范围． 16．已知函数． (1)当时，讨论函数的极值； (2)若有两个不同的极值点，求t的取值范围． 17．已知函数． (1)当时，求函数图象在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)是否存在实数，对任意的且有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 18．已知函数. (1)若函数存在两个不同的极值点，，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，不等式恒成立，求实数的最小值，并求此时的值. 19．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)将函数的图象向左平移1个单位长度得到函数的图象，若存在和为2的正实数和，且，使得，求实数a的取值范围． 20．已知是函数的极值点． (1)求的值； (2)若函数在上存在最小值，求的取值范围． 21．已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 22．设函数，其中. (1)若，讨论在上的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 23．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的最小值. 24．已知函数，其中. (1)求曲线在处的切线方程，并证明当时，； (2)若有三个零点，且. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间； （2）利用导数得到对任意的，在单调递减，在单调递增，将问题转化为，构造函数，研究其单调性及最值，可求出的取值范围． 【详解】（1）当时定义域为， 则，令，则， 所以单调递增，又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）因为， ． 若，则当时，，； 当时，，． 若，则当时，，； 当时，，． 所以在单调递减，在单调递增． 所以对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值. 所以对于任意，的充要条件是：，即①， 设函数，则. 当时，；当时，. 故在单调递减，在单调递增. 又，， 故当时，. 即当时，，，即①式成立. 当时，由的单调性，，即； 当时，，即. 综上，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2．(1) (2)单调递增区间为，，单调递减区间为 【分析】（1）求出，求导，得到，从而得到切线方程； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【详解】（1）， ，， 故在点处的切线方程为， 即； （2）的定义域为R， ， 令，解得或， 令，解得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为. 3．极小值为，无极大值 【分析】在等式中，令可求得的值，在等式两边求导，令可求得的值，可得出函数的解析式，再利用导数可求得函数的极值. 【详解】因为，则，解得， 因为，可得，