2024年数学新高考专题特训：数列（解答题篇）

2024年数学新高考专题特训：数列（解答题篇） 1．已知等比数列的前项和为，， (1)求等比数列的公比； (2)求 2．已知数列满足，，记． (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前n项和为，求数列的前n项的和． 3．已知，是公差互为相反数的两个等差数列，其中，且． (1)求，； (2)若，求数列的前n项和． 4．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式. (2)设，试问是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有满足要求的，；若不存在，请说明理由. 5．已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 6．已知数列是公比为2的等比数列. (1)若，求数列的前项和； (2)若，证明：. 7．已知等差数列的公差为2，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的值. 8．已知是公差为的等差数列，它的前项和为，，数列中，. (1)求公差的值； (2)若，求数列中的最大项和最小项的值. 9．已知数列前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：. 10．已知为等差数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 11．已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 12．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前20项和． 13．已知数列满足，数列首项为2，且满足. (1)求和的通项公式 (2)记集合，若集合的元素个数为，求实数的取值范围. 14．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，． (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 15．已知数列满足，且点在直线上 (1)求数列的通项公式； (2)数列前项和为，求能使对恒成立的的最小值． 16．已知公差不为0的等差数列和等比数列中，，，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若为数列的前n项和，求使成立的n的取值范围. 17．已知数列是各项均为正数的等比数列，且是与的等差中项．数列满足，且． (1)求数列，的通项公式； (2)记（其中，符号表示不超过x的最大整数），求数列的前n项和． 18．已知数列的前n项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 19．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)探究数列是否存在最大项，并说明理由． 20．已知数列满足，数列满足． (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若（，），求的取值范围； (3)在数列中，是否存在正整数，，使，，（，，）构成等比数列？若存在，求符合条件的一组的值，若不存在，请说明理由． 21．已知数列满足，且，数列满足，且（表示不超过的最达整数），． (1)求； (2)令，记数列的前项和为，求证：． 22．已知数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，求证：. 23．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前n项和，若为数列的前n项和，且 (1)求数列的通项公式； (2)求. 24．已知常数，数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列是单调递增数列，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1). (2). 【分析】（1）利用等比数列求和公式即可求公比； （2）由（1）求出数列的通项公式，并判断出其为等比数列，利用等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）当时，，不合题意，舍； 当时，， 解得. （2）由（1）得， 所以，所以为常数， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列． 故. 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到，结合，得出，即可求解； （2）由（1），求得，得到，分为偶数和为奇数，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为数列满足，，可得， 又因为，即，且， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列. （2）解：由（1），可得数列的通项公式为，可得， 所以 当为偶数时， ； 当为奇数时， ， 所以数列的前项和为：. 3．(1)， (2) 【分析】（1）由题意可得，求出公差和，结合等差数列的通项公式计算即可求解； （2）由（1）可得，利用错位相减求和法计算即可求解. 【详解】（1）设的公差为d，则的公差为， 依题意有，即，得，， ，． （2）由（1）得， 所以， 则， 两式相减，得 ， 于是 4．(1) (2)或或 【分析】（1）求得数列的首项和公差，从而求得. （2）根据等差中项列方程，化简后根据为正整数求得符合题意的. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意得，解得， 所以. （2）由（1）得， 假设存在符合题意的正整数，，，，成等差数列， 即，