命题点3 一元二次方程及其解法-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·基础夯实练

基础夯实练·陕西数学 命题点３　一元二次方程及其解法（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．经历估计方程解的过程； ２．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； ３．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； ４．了解一元二次方程的根与系数的关系． 要点归纳 １．一元二次方程（ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，ａ≠０）必须同时满足以下三个条件： （１）是①　整式　方程； （２）只含有②　１　个未知数； （３）未知数的最高次数是③　２　． 易错警示：对于方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，只有当④　ａ≠０　时才是一 元二次方程；若ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０是一元二次方程，则必然隐含着⑤　ａ≠０　． ２．一元二次方程的解法（基本思路：降次） 解法 适用形式 方程的根 直接开平方法 ｘ２＝ｐ（ｐ≥０） ｘ＝⑥　±槡ｐ　 （ｘ＋ｎ）２＝ｐ（ｐ≥０） ｘ＝⑦　±槡ｐ－ｎ　 因式分解法 （ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）＝０ ｘ１＝⑧　ａ　，ｘ２＝⑨　ｂ　 ｘ（ａｘ＋ｂ）＝０ ｘ１＝⑩　０　，ｘ２＝瑏瑡　　　　　 公式法 所有一元二次方程： ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ （ａ≠０，ｂ２－４ａｃ≥０） 求根公式为ｘ＝瑏瑢　　　　　　， 在使用求根公式时： （１）要先将一元二次方程化为一般式； （２）确定ａ，ｂ，ｃ的值时要带符号 配方法 所有一元二次方程，一般用于： 二次项系数化为１后一次项 系数是偶数的方程，形如 ｘ２ ＋２ｍｘ－ｎ＝０ ｘ＝± ｎ＋ｍ槡 ２－ｍ ３．根的判别式：ｂ２－４ａｃ叫作一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根的判别式． ４．一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）根的情况与判别式的关系 （１）ｂ２－４ａｃ＞０方程有瑏瑣　两个不相等　的实数根； （２）ｂ２－４ａｃ＝０方程有瑏瑤　两个相等　的实数根（ｘ１＝ｘ２＝瑏瑥　　　　　）； １２ 基础夯实练·陕西数学 （３）ｂ２－４ａｃ＜０方程瑏瑦　没有　实数根． 由（１）、（２）知ｂ２－４ａｃ≥０方程有瑏瑧　两个　实数根． 易错警示：由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程  的二次项系数含有字母，应注意二次项系数不为  ０这个隐含条件． ５．方程根与系数的关系 若方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有两个实数根ｘ１，ｘ２，则有ｘ１＋ｘ２＝瑏瑨　　　　，ｘ１ｘ２＝瑏瑩　　　　． 随堂练习 １．（北师九上Ｐ３６做一做改编）ｘ２＋８ｘ＋　１６　＝（ｘ＋４）２；ｘ２－１２ｘ＋　３６　＝（ｘ－　６　）２． ２．请用你认为的最佳方法解下列方程． （１）ｘ２－２ｘ－４＝０；　　　　　（２）２ｘ２－５ｘ＋２＝０；　　　　　（３）ｘ（ｘ－７）＝８（７－ｘ）． ３．已知关于ｘ的方程ａｘ２－４ｘ＋１＝０． （１）若该方程有两个不相等的实数根，则ａ的取值范围是　ａ＜４且ａ≠０　； （２）若该方程有两个相等的实数根，则ａ的值为　　　　　　　　 　　　； （３）若该方程没有实数根，则ａ的取值范围是　　　　　　　　 　　　　； （４）若该方程有实数根，则ａ的取值范围是　　　　　　　　　　 　　　． ４．若一元二次方程ｘ２－４ｘ－２＝０的两根分别为ｘ１，ｘ２，且ｘ１＞ｘ２，则： （１）ｘ１＋ｘ２＝　４　；（２）ｘ１·ｘ２＝　－２　；（３） １ ｘ１ ＋１ｘ２ ＝　－２　；（４）ｘ２１＋ｘ ２ ２＝　２０　． 命题点４　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 一元二次方程的实际应用 １．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程； ２．理解方程解的意义； ３．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性． 要点归纳 １．变化率问题 （１）若基础量为 ａ，平均增长率为 ｘ，则第一次增长后为①　ａ（１＋ｘ）　，第二次增长后为 ②　ａ（１＋ｘ）２　，若增长两次后的量为ｂ，则有③　ａ（１＋ｘ）２＝ｂ　； （２）若基础量为 ａ，平均下降率为 ｘ，则第一次下降后为④　ａ（１－ｘ）　，第二次下降后为 ⑤　ａ（１－ｘ）２　，若下降两次后的量为ｂ，则有⑥　ａ（１－ｘ）２＝ｂ　． 例１　为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价 由８０元降为５４元，求平均每次降价的百分率，设平