2024年数学新高考专题特训：平面向量及其应用（解答题篇）

2024年数学新高考专题特训：平面向量及其应用（解答题篇） 1．a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知. (1)求； (2)若A为钝角，且，，求的周长. 2．已知的三内角所对的边分别是，向量，且． (1)求角的大小； (2)若，求三角形周长的取值范围． 3．的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，，且. (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围. 4．已知内角的对边分别为，面积为，且. (1)求角； (2)已知，求面积的最大值. 5．已知在中，内角所对的边分别为，已知 (1)若，求周长的最大值 (2)若，满足此条件的三角形只有一个，求实数的取值范围 6．已知中内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若是边上一点，且是的平分线，求的最小值. 7．的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行． (1)求； (2)若，，求的面积． 8．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知，． 证明：． 9．如图．在平面四边形中，．设，证明：为定值． 10．在中，． (1)求． (2)若点在上，且，求的面积． 11．已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，，，求的长. 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)D是线段上的点，且，，求的面积. 13． (1)求； (2)求与的夹角 14．已知的内角所对的边分别为，且. (1)求的大小； (2)设是边上的一点，且满足，求的面积的最小值. 15．在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于. (1)若. ①用表示. ②若，求的值. (2)若，求的最小值. 16．2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备． 如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，．记，三条轨道的总长度为米． (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长． 17．已知． (1)若θ为与的夹角，求θ的值； (2)若与垂直，求k的值． 18．某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）. (1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； (2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值. 19．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且． (1)求角B的大小； (2)若为锐角三角形，求的值域． 20．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，，求. 21．记的内角，，所对的边分别为，，，，，点在边上，且. (1)求证：. (2)若，，求的面积. 22．在棱长为2的正四面体中，. (1)设用，，表示； (2)若求. 23．已知向量，． (1)当时，求的值； (2)求在的最小值及相应的取值，并求出函数在的单调递增区间． 24．已知向量，，．设． (1)求函数的最小正周期； (2)若，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化简即可求解； （2）由（1），根据同角的三角函数关系求出，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. （2）因为A为钝角，且，所以. 由余弦定理得， 即，由解得， 所以的周长为. 2．(1) (2) 【分析】（1）利用以及正弦定理边化角，整理计算后可得答案； （2）利用余弦定理求得，在根据三角形边的关系可得的范围，进而可得周长范围. 【详解】（1）由已知，且， ， 由正弦定理得， ， 即， ，； （2）由余弦定理，得 ， 当且仅当时取等号． ，故，又， ∴的取值范围是， 所以周长的取值范围是. 3．(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标形式，得到边和角之间的等式关系，根据正弦定理将角化为边，解得边之间关系，再根据余弦定理即可求解； （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：，由，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题知向量，，且. 所以，由正弦定理可得， 所以，所以，因为，所以； （2）因为，，， 所以，， 所以. 因为，所以，所以， 所以， 所以，即周长的取值范围为. 4