2024年数学新高考专题特训：立体几何初步（解答题篇）

2024年数学新高考专题特训：立体几何初步（解答题篇） 1．如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，是棱上的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面. 2．如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．    (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求点到平面的距离． 3．如图，在正方体中，    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求证：； (3)设分别是给定正方体的棱和上的任意点．求证：三棱锥的体积是定值． 4．如图，在三棱锥中，为等边三角形，平面平面PCD，，    (1)求证：平面PCD； (2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值． 5．如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，点E，F分别为AD，PC的中点．    (1)证明：∥平面PBE； (2)求三棱锥的体积． 6．如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．    (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 7．如图，在正方体中，分别是的中点．    (1)求证：四点共面； (2)求异面直线所成的角. 8．如图，三棱台中，，，，点A在平面上的射影在的平分线上.    (1)求证：； (2)若A到平面的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值. 9．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，，平面平面，E，F分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 10．在长方体中，，，M、N分别是AD、DC的中点．    (1)求：棱锥的体积； (2)求：异面直线与所成角的大小． 11．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．    (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 12．如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD为底面圆的两条直径，，且，P为母线SB上一点，． (1)求证：平面PCD； (2)求圆锥SO的体积． 13．如图，正三棱锥中，为棱的三等分点．    (1)求异面直线夹角的余弦值； (2)求三棱锥的体积． 14．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，． (1)证明：平面平面； (2)若与所成角为，求二面角的余弦值． 15．在四棱锥中，底面为中点，底面是直角梯形，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在线段上是否存在一点，使得二面角为？若存在，求的值；若不存在，请述明理由． 16．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是2，且它们所在的两个半平面所成的角为.活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且.    (1)用表示出的长度，并求出的长的取值范围； (2)当的长最小时，平面与平面所成角的余弦值. 17．如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面， (1)求二面角的正弦值： (2)求点到平面的距离. 18．如图，矩形所在平面与直角梯形所在的平面垂直，，.    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面平面． 19．如图所示，菱形的对角线与交于点，点、分别为、的中点，交于点，将沿折起到的位置. (1)证明：； (2)若，，，求二面角的大小. 20．已知A，B，C，D为空间四个点，是边长为2的等边三角形，，．    (1)若，求直线与平面所成角的大小； (2)设点D在平面内的射影为点G，若点G到三边所在直线的距离相等，求实数a的值． 21．如图，长方体的底面为边长为1的正方形.    (1)求证：直线和为异面直线. (2)若异面直线与所成角的大小为，求直线到底面的距离. (3)若平面上有且仅有一点到顶点的距离为2，棱的中点为，求点到平面的距离. 22．如图，已知正方体，点是棱的中点. (1)求与平面所成角的大小. (2)在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明. 23．如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点是棱的中点，点为与交点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 24．如图，正方体的棱长为2，E为AC的中点.    (1)求证：； (2)求点D到平面的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）连接，易知，利用线面平行的判定定理即可证明平面； （2）利用菱形性质以及勾股定理即可证明平面，再由线面垂直性质利用线面垂直判定定理即可得出证明. 【详解】（1）取的交点为，连接，如下图所示：    由四边形是菱形可知，是的中点， 又是棱上