题型03 综合与实践-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·培优册

培优册·陕西数学 第 三 部 分 重 难 题 型 突 破 篇 题型三　综合与实践（必考） 考情分析：分析陕西近１０年真题，从设问数量上：２０２１年、２０２３年为２问，其余为３问． 从设问类型上： １．线段问题（与对称有关（含“造桥选址”）的线段最值问题、与圆（显性圆、辅助圆）有关的线 段最值问题）； ２．面积问题（与函数有关的面积问题、等分面积问题、与圆（显性圆、辅助圆）有关的面积最值 问题）； ３．角度问题（操作类的定角探究问题，最大张角问题）． 例题图③ 例　（２０２２陕西２６题１０分） 问题提出 （１）如图①，ＡＤ是等边△ＡＢＣ的中线，点 Ｐ在 ＡＤ的延长线上，且 ＡＰ＝ＡＣ，则∠ＡＰＣ的度数为　７５°　； 图① 　　 图② 例题图 问题探究 （２）如图②，在△ＡＢＣ中，ＣＡ＝ＣＢ＝６，∠Ｃ＝１２０°．过点 Ａ作 ＡＰ∥ ＢＣ，且ＡＰ＝ＢＣ，过点 Ｐ作直线 ｌ⊥ＢＣ，分别交 ＡＢ，ＢＣ于点 Ｏ， Ｅ，求四边形ＯＥＣＡ的面积； （多解法）问题解决 （３）如图③，现有一块△ＡＢＣ型板材，∠ＡＣＢ为钝角，∠ＢＡＣ＝４５°． 工人师傅想用这块板材裁出一个△ＡＢＰ型部件，并要求 ∠ＢＡＰ＝１５°，ＡＰ＝ＡＣ．工人师傅在这块板材 上的作法如下： ①以点Ｃ为圆心，以ＣＡ长为半径画弧，交ＡＢ 于点Ｄ，连接ＣＤ； 【点拨】 （１）ＡＤ是等边△ＡＢＣ的中 线，根据三线合一的性质 可知 ＡＤ为∠ＢＡＣ的平分 线，已知 ＡＰ＝ＡＣ，由等边 对 等 角 可 知 ∠ＡＰＣ ＝ ∠ＡＣＰ，在△ＡＰＣ中，由三 角形内角和为 １８０°进行 求解． （２）四边形 ＯＥＣＡ为不规 则图形，要计算其面积，则 转化为规则图形面积的和 差，即 Ｓ四边形ＯＥＣＡ ＝Ｓ△ＡＢＣ － Ｓ△ＯＢＥ．要 计 算 △ＡＢＣ 和 △ＯＢＥ的面积，∵ＢＣ为定 值，故计算 ＢＥ及 ＢＣ、ＢＥ 上的高即可． ６４ 培优册·陕西数学 第 三 部 分 重 难 题 型 突 破 篇 ②作ＣＤ的垂直平分线ｌ，与ＣＤ交于点Ｅ； ③以点Ａ为圆心，以 ＡＣ长为半径画弧，交直线 ｌ于点 Ｐ，连接 ＡＰ，ＢＰ，得△ＡＢＰ． 请问，若按上述作法，裁得的△ＡＢＰ型部件是否符合要求？请证 明你的结论． （３）明确尺规作图痕迹的 意义（详见基础夯实练第 七章“命题点 １　尺规作 图”）． 解法１：将等腰直角三角形 ＡＤＣ补全，构造正方形，再 构造等边三角形，利用正 方形和等边三角形特殊角 进行求解． 解法２：过点 Ｐ作 ＡＣ的垂 线，构造矩形，根据 ３０°所 对的直角边等于斜边的一 半得到∠ＰＡＣ＝３０°，从而 求解． 解法３：过点 Ｃ作 ＡＰ的垂 线，构造△ＣＧＰ≌△ＣＥＰ， 可得 ＣＧ＝ １２ＡＣ，从 而 求解． 解法４：过点 Ａ作 ＡＧ⊥ＥＰ 交ＥＰ的延长线于Ｇ，ＧＰ交 ＡＤ于 Ｍ，构造△ＡＭＧ≌ △ＤＭＥ，可得∠ＭＡＧ＝４５°， ∠ＧＡＰ＝６０°，从而求解． ７４ 培优册·陕西数学 第 三 部 分 重 难 题 型 突 破 篇 类 型 １　与线段有关的最值问题 考法１　利用函数性质解决线段最值问题 方法指导：链接本册利用函数性质解决线段问题／Ｐ２５ １．问题提出 （１）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图①即可证明，其 中与∠Ａ相等的角是　　　　； 问题解决 （２）如图②，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ与∠ＡＤＣ互余，小明发现四边形ＡＢＣＤ中这对互余的角 可类比（１）中思路进行拼合：先作∠ＣＤＦ＝∠Ｂ，再过点Ｃ作ＣＥ⊥ＤＦ于点Ｅ，连接ＡＥ，求出 ＡＤ，ＤＥ，ＡＥ之间的数量关系； 问题解决 （３）小明有一天突发奇想，想设计一个四边形ＡＢＤＣ，如图③，ＡＢ＝ＡＣ＝３５ＡＤ，ＢＤ＋ＣＤ＝１４， ∠ＢＡＣ＋∠ＢＤＣ＝９０°，在以上条件下，对角线ＢＣ是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 图① 　　　 图② 　　　 图③ 第１题图 ８４ 培优册·陕西数学 第 三 部 分 重 难 题 型 突 破 篇 考法２　利用对称性（含“造桥选址”）解决线段最值问题［２０２３．２６（３），２０１８．２５（３），２０１６．２５（２）］ 方法指导：链接本册线段最值问题／Ｐ２１ ２．问题提出 （１）如图①，在等边三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＡＤ为ＢＣ边上的高，Ｅ为ＡＣ的中点，连接ＢＥ交 ＡＤ于点Ｏ，则ＡＯ的长为　　　　； 问题探究 （２）如图②，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，点 Ｐ为正方形内一点，当 Ｓ△ＡＢＰ＝ １ ４Ｓ正方形ＡＢＣＤ时，求 ＰＡ＋ＰＢ的最小值； 问题解决 （３）如图③，四边形ＡＢＣＤ是某现代农业生态园部分平面示意图，其中 ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｃ＝９０°， ∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝ＡＤ，ＣＤ＝３００ｍ，△ＡＢＤ的内心Ｏ是一座有机蔬菜餐厅，生态园的入口Ｍ是 ＣＤ的中点，ＢＭ是一