设问06 二次函数中几何图形存在性问题-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·培优册

培优册·陕西数学 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 设问六　二次函数中几何图形存在性问题（８年６考，近２年未考查） 考情说明：近２年未考查，２０１６－２０２１年在解答题中每年必考，且均在倒数第２（即第２４／２５） 题位考查，类型有面积问题、特殊三角形存在性问题、相似（全等）三角形存在性问题、特殊四 边形存在性问题． 涉及的主要思想：分类讨论 需具备的能力：根据题意画二次函数草图 类 型 １　特殊三角形存在性问题 Ⅰ．等腰三角形存在性问题 例１　如图，点 Ａ坐标为（１，１），点 Ｂ坐标为 （４，３），在ｘ轴上取点Ｃ，使得△ＡＢＣ是等腰 三角形，则点Ｃ的坐标为 　． 例１题图 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 归纳总结 解法１：代数法求点坐标 设点Ｃ的坐标，根据 Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标表示 出线段 ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的长，由 ＡＢ＝ＢＣ， ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝ＡＣ，求解出点Ｃ坐标． 解法２：数形结合法 （１）“两圆一线”定点的位置：如图①， ①ＡＢ为腰时：分别以Ａ，Ｂ为圆心，ＡＢ长 为半径画圆，与 ｘ轴交于点 Ｃ，此时点 Ｃ 有４个；②ＡＢ为底时：作ＡＢ的垂直平分獉獉獉獉 线 獉 ，交ｘ轴于点Ｃ，此时点Ｃ有１个． 注：若有三点共线的情况，则需排除． 图① 　　 图② （２）计算点的坐标：以 ＡＢ为腰且 Ａ为顶 点为例，如图②，作 ＡＨ⊥ｘ轴于 Ｈ，构造 直角三角形，通过勾股定理（ＡＨ２＋ＨＣ２ ＝ＡＣ２＝ＡＢ２）求解出点坐标． Ⅱ．直角三角形存在性问题 例２　如图，在平面直角坐标系中，点 Ａ坐标 为（１，１），点Ｂ坐标为（５，３），在ｘ轴上找一 点Ｃ，使得△ＡＢＣ是直角三角形，则点Ｃ的坐 标为 　． 例２题图 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 归纳总结 解法１：代数法求点坐标 设点Ｃ的坐标，根据Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标表示 出线段 ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的长，分别列方程 ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２，ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２，ＡＢ２＝ ＢＣ２＋ＡＣ２，求解出点Ｃ坐标． 解法２：数形结合法 （１）“两线一圆”定点的位置：如图①，分 三种情况．①∠Ａ为直角，过点 Ａ作 ＡＢ 的垂线，与 ｘ轴的交点即为所求点 Ｃ； ②∠Ｂ为直角，过点 Ｂ作 ＡＢ的垂线，与 ｘ轴的交点即为所求点 Ｃ；③∠Ｃ为直  角，以ＡＢ为直径作圆，与 ｘ轴的交点即 为所求点Ｃ（直径所对的圆周角为直角）． 图① 　　 图② （２）构造三垂直计算点的坐标：以 ∠ＢＡＣ１ 为直角为例，如图 ②，构造 Ｒｔ△ＡＢＥ和 Ｒｔ△ＡＣ１Ｆ，通过△ＡＢＥ∽ △Ｃ１ＡＦ，可得 ＡＥ Ｃ１Ｆ ＝ＢＥＡＦ，求出点Ｃ坐标                                                            ． ４３ 培优册·陕西数学 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 综合训练 １．（２０２３宝鸡市陈仓区模拟）如图，已知抛物 线ｙ＝ａｘ２－２ｘ＋ｃ与ｘ轴交于点Ａ，Ｂ（１，０） （Ａ在Ｂ的左侧），与 ｙ轴交于点 Ｃ（０，３）， 顶点为Ｄ． （１）求出该抛物线的表达式； （２）若点Ｍ是抛物线对称轴上的一点，是否 存在点Ｍ，使得以点Ａ，Ｃ，Ｍ为顶点的三角 形是以ＡＣ为腰的等腰三角形？若存在，求 出点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由． 【自主作答】 第１题图 ２．如图，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋５与ｘ轴交 于Ａ（－１，０），Ｂ（５，０）两点（点Ａ在点Ｂ的 左侧），与ｙ轴交于点Ｃ． （１）求抛物线的表达式； （２）若 Ｍ为抛物线对称轴上一动点，使得 △ＭＢＣ为直角三角形，请求出 Ｍ点的 坐标． 【自主作答】 第２题图                      