设问05 面积问题—利用函数性质解决面积问题-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·培优册

培优册·陕西数学 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 设问五　面积问题———利用函数性质解决面积问题（８年２考） 类 型 １　直接用面积公式进行计算 例　（２０２２年版课标例６９）如图，正三角形ＡＢＣ的边长为１，Ｄ是ＢＣ边上一点，过Ｄ作ＡＢ边的 垂线，交ＡＢ于Ｇ，用ｘ表示线段ＡＧ的长度．显然，Ｒｔ△ＧＢＤ的面积ｙ是线段长度ｘ的函数，则 ｙ与ｘ之间的函数关系式为　　　　． 例题图 归纳总结 Ｓ＝１２ａｈ Ｓ＝ａｈ Ｓ＝ａｂ Ｓ＝ａ２ Ｓ＝１２ａｂ Ｓ＝１２（ａ＋ｂ）ｈ Ｓ＝πｒ２ Ｓ＝ｎ３６０πｒ ２ 【拓展】坐标系中的面积 有一边在坐标轴上 有一边平行坐标轴 Ｓ＝１２ＡＢ·ＣＤ ＝１２｜ｘＢ－ｘＡ｜·｜ｙＣ｜ Ｓ＝１２ＡＢ·ＣＤ ＝１２｜ｙＢ－ｙＡ｜·｜ｘＣ｜ Ｓ＝１２ＡＢ·ＣＤ ＝１２｜ｘＢ－ｘＡ｜·｜ｙＣ－ｙＡ｜ Ｓ＝１２ＡＢ·ＣＤ ＝１２｜ｙＢ－ｙＡ｜·｜ｘＣ－ｘＡ｜ ０３ 书 培优册·陕西数学 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 综合训练 １．（２０２３西安市未央区校级模拟）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为 ２５ｍ）的空地上修建一个矩形小花园ＡＢＣＤ．小花园一边靠墙，另三边用总长４０ｍ的栅栏围 住，如图所示．设矩形小花园ＡＢ边的长为ｘｍ，面积为ｙｍ２． （１）求ｙ与ｘ之间的函数关系式； （２）当ｘ为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【自主作答】 第１题图 ２．（２０２３高新一中模拟）如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝１０，Ｓ△ＡＢＣ＝５０，矩形ＤＥＦＧ的顶点Ｄ，Ｅ分别在 边ＡＢ、ＡＣ上，顶点Ｆ，Ｇ在边ＢＣ上，若设ＤＧ＝ｘ，求当ｘ取何值时，矩形ＤＥＦＧ面积最大． 【自主作答】 第２题图 ３．（北师九下Ｐ４６引例）如图，在一个直角三角形内做一个矩形ＡＢＣＤ，设矩形ＡＢＣＤ的面积为 ｙｍ２，ＡＢ＝ｘｍ，则当ｘ为何值时，ｙ的值最大，最大值是多少？ 【自主作答】 第３题图 ４．（２０２３潍坊）工匠师傅准备从六边形的铁皮ＡＢＣＤＥＦ中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图 所示．经测量，ＡＢ∥ＤＥ，ＡＢ与ＤＥ之间的距离为２米，ＡＢ＝３米，ＡＦ＝ＢＣ＝１米，∠Ａ＝∠Ｂ＝ ９０°，∠Ｃ＝∠Ｆ＝１３５°．ＭＨ，ＨＧ，ＧＮ是工匠师傅画出的裁剪虚线．当ＭＨ的长度为多少时，矩 形铁皮ＭＮＧＨ的面积最大，最大面积是多少？ 【自主作答】 第４题图 １３ 培优册·陕西数学 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 【拓展】（优质原创）已知抛物线Ｌ：ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于Ａ（２，０），Ｂ（４，０）两点，与ｙ轴 交于点Ｃ． （１）求抛物线Ｌ的表达式及点Ｃ的坐标； （２）点Ｍ是ｘ轴上一点，记抛物线Ｌ关于点Ｍ中心对称的抛物线为Ｌ′，抛物线Ｌ′与ｙ轴的 交点为Ｅ，点Ａ，Ｂ的对应点分别为Ａ′，Ｂ′，连接ＡＣ，ＢＣ，Ａ′Ｅ，Ｂ′Ｅ，当Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｅ时，求出点 Ｍ的坐标以及抛物线Ｌ′的表达式． 类 型 ２　通过割补法进行计算（２０２１，２０２０．２６） 方法突破：当所求几何图形的面积不易直接用公式表示时，可将所求几何图形转化成几个规 则图形，再利用面积的和差进行计算． ５．（２０２０陕西２５（１）题改编）如图，在菱形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝３０°，Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ，ＤＣ的中点，设 菱形ＡＢＣＤ的边长为ｘ，四边形ＡＢＦＥ的面积为ｙ，则ｙ与ｘ之间的函数关系式为　　　　． 第５题图 　　　　 第６题图 ６．（２０２０陕西２５（３）题改编）如图，△ＡＢＤ内接于⊙Ｏ，点Ｐ，Ｅ，Ｆ，分别在线段ＡＢ，ＡＤ，ＤＢ上，满 足四边形ＰＥＤＦ为正方形，已知⊙Ｏ半径为５，设ＡＰ＝ｘ，图中阴影部分的面积为ｙ，则ｙ与ｘ 之间的函数关系式为　　　　． ７．（２０２３广西改编）如图，△ＡＢＣ是边长为４的等边三角形，点 Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ 上，满足△ＡＤＦ≌△ＢＥＤ≌△ＣＦＥ． （１）设ＡＤ的长为ｘ，△ＤＥＦ的面积为ｙ，求ｙ关于ｘ的函数解析式； （２）结合（１）所得的函数，描述△ＤＥＦ的面积随ＡＤ的增大如何变化． 【自主作答】 第７题图 ２３ 培优册·陕西数学 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 【拓展】坐标系中宽高法、补全法求图形面积 宽高法 补全法 Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＤ＋Ｓ△ＡＣＤ ＝１２ｍ·ＡＤ 　 Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＢＣＤ－Ｓ△ＡＢＤ ＝１２ｍ·ＢＤ 　 Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＢＣＤ－Ｓ△ＡＣＤ ＝１２ｍ·ＣＤ Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ矩形ＤＢＦＥ－Ｓ△ＡＢＤ－ Ｓ△ＡＥＣ－Ｓ△ＢＦＣ 【拓展】（２０２３韩城市期末节选）如图，一次函数ｙ１＝－ｘ＋５与ｘ轴、ｙ轴分别交于点Ａ，Ｂ，一次 函数ｙ２＝ｍｘ＋ｍ（ｍ＞０）与ｙ１交于点Ｅ（１，ｎ）． （１）求出点Ｅ的坐标及ｍ的值； （２）若点Ｐ在一次函数ｙ２的图象上，且Ｓ△ＡＥＰ＝３