设问04 面积问题—等分面积问题-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·培优册

培优册·陕西数学 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 设问四　面积问题———等分面积问题（８年２考） 例　（２０２０陕西１４题３分）如图，在菱形 ＡＢ ＣＤ中，ＡＢ＝６，∠Ｂ＝６０°，点 Ｅ在边 ＡＤ上， 且ＡＥ＝２．若直线ｌ经过点Ｅ，将该菱形的面 积平分，并与菱形的另一边交于点 Ｆ，则线 段ＥＦ的长为　　　　． 例题图 【点拨】过点Ｅ的直线ｌ将菱形的面积等分， 根据菱形的中心对称性可知，该直线ｌ必经 过菱形对角线的交点． 【变式】例题中的菱形变为“平行四边形”，添 加条件ＢＣ＝８，则线段ＥＦ的长为 　． 归纳总结 类 型 １　利用对称性解决面积问题 ［２０２０．１４，２０１７．２５（２）］ 对于平行四边形、矩形、菱形和正方形，过其 对称中心的任意一条直线，均可将它们的面 积和周长分成相等的两部分．如图，Ｓ四边形ＡＥＦＢ＝ Ｓ四边形ＤＥＦＣ；两条对角线将平行四边形面积４等 分，Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＣＯＢ＝Ｓ△ＣＯＤ＝Ｓ△ＡＯＤ；对于圆，过 圆心的任意一条直线均等分圆的面积． １．（２０２３铁一中滨河九上开学）如图，矩形 ＡＢＣＤ的对角线相交于点Ｏ，过点Ｏ的直线 分别交 ＡＤ，ＢＣ于点 Ｅ，Ｆ，若两阴影三角形 的面积分别是３ｃｍ２，４ｃｍ２，则矩形的面积 是 （　Ａ　） 第１题图 Ａ．１４ｃｍ２　　　　　　Ｂ．１６ｃｍ２ Ｃ．２４ｃｍ２ Ｄ．２８ｃｍ２ ２．（优质原创）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ 槡３，ＢＣ＝３，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＤ，ＢＣ上，且 线段 ＥＦ平分矩形的面积，连接 ＥＣ，若 ∠ＥＣＢ＝６０°，则线段ＥＦ的长为　　　　． 第２题图 　　 第３题图 ３．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝８，延长 ＢＡ至Ｅ，使ＡＥ＝ＡＢ，以ＡＥ为边向右侧作正 方形ＡＥＦＧ，Ｏ为正方形ＡＥＦＧ的中心，若过 点Ｏ的一条直线平分该组合图形的面积， 并分别交ＥＦ，ＢＣ于点 Ｍ，Ｎ，则线段 ＭＮ的 长为　　　　． 类 型 ２　过三角形顶点作直线等分图形面积 问题：如图，在△ＡＢＣ的边ＢＣ上确定一点Ｄ， 使得ＡＤ平分△ＡＢＣ的面积． 作法：根据同底等高的两个三角形面积相等， 取ＢＣ中点 Ｄ，连接 ＡＤ，则 ＡＤ平分△ＡＢＣ的 面积． ４．（２０２３西安市尊德中学模拟）如图，在 △ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ是钝角．请用尺规作图 法，作线段 ＡＰ，使 ＡＰ平分△ＡＢＣ的面积， 点Ｐ在边ＢＣ上．（保留作图痕迹，不写作法） 第４题图                                                                     ８２ 培优册·陕西数学 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 类 型 ３　过三角形边上一定点（非顶点）作直 线平分图形面积 问题：如图，Ｄ为 ＢＣ上一定点，在 ＡＣ上找一 点Ｆ，使得ＤＦ平分△ＡＢＣ的面积． 作法一：如图①，过点 Ａ作△ＡＢＣ的中线 ＡＥ； 连接ＡＤ，过点Ｅ作ＥＦ∥ＡＤ交ＡＣ于点Ｆ；作 直线ＤＦ与 ＡＥ交于点 Ｏ，则 ＤＦ平分△ＡＢＣ 的面积． 图① 　　　 图② 作法二：如图②，连接 ＡＤ，过点 Ｂ作 ＢＥ∥ＡＤ 交ＣＡ的延长线于点Ｅ，连接ＤＥ，ＤＥ与ＡＢ交 于点Ｏ，取ＣＥ的中点Ｆ，作直线ＤＦ，则ＤＦ平 分△ＡＢＣ的面积． ５．如图，在△ＡＢＣ中，Ｎ是ＡＢ上一点（不是中 点），过点Ｎ画一直线ＮＦ将△ＡＢＣ分成面 积相等的两部分． 第５题图 类 型 ４　过不规则四边形顶点作直线平分图 形面积 问题：在ＢＣ上找一点 Ｍ，使得 ＡＭ平分四边 形ＡＢＣＤ的面积． 作法：连接ＡＣ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ交ＢＣ的延 长线于点Ｅ，取 ＢＥ的中点 Ｍ，作直线 ＡＭ，则 ＡＭ平分四边形ＡＢＣＤ的面积． ６．如图，四边形ＡＢＣＤ各个顶点的坐标依次为 （－２，８），（－１１，６），（－１４，０），（０，０）．葛 老师手里只有一把不带刻度的直尺和三角 板，同学们能否帮助葛老师作出一条过 Ｃ 点且平分四边形 ＡＢＣＤ面积的直线 ＣＦ．如 果能，请直接画出直线 ＣＦ并保留作图痕 迹；如果不能，请说明理由． 【自主作答】 第６题图 类 型 ５　根据面积公式直接进行相关计算 ７．（２０２３西工大附中模拟）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，ＡＤ＝６，ＡＢ＝１２， ＢＣ＝１８，点Ｅ在边ＣＤ上，且ＤＥ＝３槡２，Ｆ为 第７题图 ＢＣ上一点，ＥＦ平分四边形 ＡＢＣＤ的面积，则 ＥＦ的长 为　　　　． 拔高训练 ８．（２０２３咸阳模拟节选）如图，农博园有一块 四边形 ＡＢＣＤ空地，其中 ＡＢ＝６０米，ＡＤ＝ １２０米，ＢＣ＝８０米，ＣＤ＝１００米，∠Ｂ＝