设问02 利用函数性质解决线段问题&设问03面积问题——等面积法的应用-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·培优册

培优册·陕西数学 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 设问二　利用函数性质解决线段问题 类 型 １　通过勾股定理进行转化 １．如图，在 Ｒｔ△ＡＣＢ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝ ２５ｃｍ，动点 Ｐ从点 Ｃ出发，沿 ＣＡ方向运 动，速度是２ｃｍ／ｓ；同时，动点Ｑ从点 Ｂ出 发，沿ＢＣ方向运动，速度是１ｃｍ／ｓ，当点Ｑ 到达点Ｃ时，Ｐ，Ｑ同时停止运动．设ＰＱ２＝ ｙ（ｃｍ），点Ｑ的运动时间为ｘ（ｓ），则ｙ与ｘ 之间的函数关系式为　　　　　　． 第１题图 【拓展设问】ＰＱ的最小值为　　　　ｃｍ． 类 型 ２　通过相似进行转化 ２．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝６，ＢＣ边上的高为 第２题图 ４，在△ＡＢＣ的内部作一 个矩形ＥＦＧＤ，使ＥＦ在 ＢＣ边上，另外两个顶点 分别在ＡＢ、ＡＣ边上，设 ＧＦ＝ｘ，ＥＧ２＝ｙ，则 ｙ与 ｘ之间的函数关系式为　　　　　　． 【点拨】易证△ＡＤＧ∽△ＡＢＣ，过点 Ａ作 ＢＣ 边上的垂线，可得ＤＧ∶ＢＣ＝ＤＧ边上的高∶ＢＣ 边上的高，则ＥＦ＝ＤＧ＝３２（４－ｘ），进而得解                         ． 设问三　面积问题———等面积法的应用（８年２考） 类 型 １　同一个几何图形的面积相等（２０２０．６） 例１题图 例１　（２０２３陕师大附中七下期末）如图，△ＡＢＣ的顶点Ａ，Ｂ，Ｃ在边长为１的正 方形网格的格点上，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ，则ＢＤ的长为 （　Ａ　） Ａ．４５　　　　Ｂ． ８ ５　　　　　Ｃ． １６ ５　　　　　　　Ｄ． ２４ ５ 归纳总结 图形 直角三角形 菱形 正方形 结论 　　Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ａｂ ＝１２ｃｈ Ｓ＝ａｈ＝１２ＡＣ·ＢＤ Ｓ＝ＡＢ２＝１２ＡＣ·ＢＤ ＝１２ＡＣ ２ 类 型 ２　分割图形各部分面积之和等于原图形的面积［２０２１．１６（１）］ 例２题图 例２　如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝８，Ｐ是ＢＣ边上的动点，过点 Ｐ作ＰＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，则ＰＤ＋ＰＥ的长是 （　Ａ　） Ａ．２４５　　　　Ｂ． １６ ５　　　　Ｃ． ２４ ５或 １６ ５　　　　Ｄ．５ ５２ 培优册·陕西数学 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 归纳总结 解题 方法 常见 图形 思考：若点Ｏ是等边三角形ＡＢＣ内部任意一点，则有什么样的结论？ 类 型 ３　同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等 例３　（２０２３高新第三初级中学期末节选）如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ，过点 Ａ 作ＡＥ⊥ＡＢ．连接ＢＥ，ＣＥ，若ＢＣ＝４，则Ｓ△ＥＢＣ＝　　　　． 例３题图 　　　　 例４题图 例４　如图，在△ＡＢＣ中，ＢＥ是△ＡＢＤ边ＡＤ上的中线，若△ＡＢＣ的面积是２４，ＢＤ∶ＣＤ＝５∶３，则 △ＡＢＥ的面积为　　　　． 归纳总结 图形 【拓展图形】 结论 Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＢＣＤ， Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＤＣ Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＢＣ·ｈ，Ｓ△ＢＣＤ＝ １ ２ＢＣ·ｈ′， Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＢＣＤ ＝ｈｈ′，同理，高相等 的两个三角形的面积之比为底之比 ６２ 培优册·陕西数学 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 综合训练 １．（多解法）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，Ｐ是线段ＡＤ上的动点，ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＢＤ 于点Ｆ，则ＰＥ＋ＰＦ的值为 （　Ａ　） Ａ．槡２　　　　　　　 Ｂ．４　　　　　　　 Ｃ．２　　　　　　　 Ｄ．槡 ２ ２ 第１题图 第２题图 第３题图 第４题图 第５题图 ２．（２０２３西安市临潼区模拟）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０，ＢＣ＝１２，点Ｅ是ＣＤ的中点，连接 ＡＥ，过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＥ于Ｆ，则ＢＦ的长为 （　Ａ　） Ａ．６０１３ Ｂ． ２５ ６ Ｃ． ６５ ６ Ｄ． １２０ １３ ３．（２０２３西安市爱知中学月考）如图，菱形ＡＢＣＤ中，ＡＣ＝８，ＢＤ＝６，ＤＥ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，ＤＥ与 ＡＣ交于点Ｆ，则ｃｏｓ∠ＢＤＥ的值为 （　Ａ　） Ａ．３４ Ｂ． ４ ３ Ｃ． ３ ５ Ｄ． ４ ５ ４．（多解法）（２０２３福建）如图，⊙Ｏ的半径为１，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估 计⊙Ｏ的面积，可得π的估计值为３槡３２，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计 值为 （　Ａ　） Ａ．槡３ Ｂ．２槡２ Ｃ．３ Ｄ．２槡３ ５．如图，△ＡＢＣ为等边三角形，边长为２ｃｍ，Ｐ为△ＡＢＣ内任意一点，过Ｐ作ＰＥ⊥ＡＢ，ＰＦ⊥ＡＣ， ＰＤ⊥ＢＣ，垂足分别为Ｅ、Ｆ、Ｄ，则ＰＥ＋ＰＦ＋ＰＤ的值为　槡３　ｃｍ． 拔高训练 ６．（２０２３商洛八下期末）王叔叔家门前有一块四边形空地ＡＢＣＤ，王叔叔计划用该空地开发一 个种植基地．如图，经测量，ＡＢ＝３００米，ＡＤ＝４８０米，ＢＣ＝１４０米