设问01 线段最值问题-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·培优册

培优册·陕西数学 　　　　　　 　　　　　　　　　　　第二部分　常考设问突破篇 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 设问一　线段最值问题（８年５考） 类 型 １　将军饮马 例１　（人教八上Ｐ８５问题１改编）如图，牧马 人从Ａ地出发，到一条水平的河边ｌ饮马，然 后到Ｂ地放牧．牧马人到河边什么地方饮 马，可使所走路径最短，请在图中画出来．若 Ａ，Ｂ两地到河边 ｌ的距离分别为 １００ｍ， ２００ｍ，Ａ，Ｂ两地的水平距离为４００ｍ，则所走 的最短路径的长为　５００　ｍ． 例１题图 　 例１题解图 【点拨】如解图，作点Ａ关于ｌ的对称点Ａ′，连 接Ａ′Ｂ交 ｌ于点 Ｐ，则点 Ｐ即为所求饮马的 地方，过点Ａ′作Ａ′Ｃ∥ｌ，过点Ｂ作ＢＣ⊥Ａ′Ｃ 于点Ｃ，则△Ａ′ＣＢ为直角三角形，且 Ａ′Ｃ＝ ４００ｍ，ＢＣ＝２００＋１００＝３００（ｍ），进而求得 最短路径的长． 归纳总结 考法１　两点一线“同侧和”最小（２０２３．１３） 问题：如图，两定点 Ａ，Ｂ位于直线 ｌ同侧，在 直线ｌ上找一点Ｐ，使得ＰＡ＋ＰＢ的值最小 图示： 作法：作点 Ｂ关于直线 ｌ的对称点 Ｂ′，连接 ＡＢ′交直线ｌ于点Ｐ 总结：同化异，连线定位置 原理：两点之间，线段最短 １．（２０２３渭南市临渭区期末）如图，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝６，ＡＣ＝９，ＥＦ垂直平分线段 ＢＣ，Ｐ 是直线ＥＦ上任意一点，则△ＡＢＰ周长的最 小值是　　　　． 第１题图 考法１类比变式：动点到线段距离为定长求线 段和的最小值 问题：如图，Ｐ是线段ＡＢ上方一动点且到ＡＢ的 距离ＰＤ为定值，确定一点Ｐ，使得ＡＰ＋ＢＰ的值 最小 图示： 作法：过点Ｐ作直线 ｌ∥ＡＢ，过点 Ｂ作直线 ｌ 的对称点Ｂ′，连接ＡＢ′交直线ｌ于点Ｐ′，此时 ＡＰ＋ＢＰ有最小值，最小值为ＡＢ′ 原理：两点之间，线段最短 解题要点：作对称，同侧转化为异侧 ２．（２０２３高新一中八下期末）如图，在△ＡＢＣ 中，点Ｄ是 ＢＣ边上一点，ＤＣ＝５ＢＤ＝５，且 △ＡＤＣ的面积为１０，则△ＡＢＣ周长的最小 值是 （　Ａ　） Ａ．１０　　Ｂ．１２　　Ｃ．１４　　Ｄ．１６ 第２题图                                                             １２ 培优册·陕西数学 第 二 部 分 常 考 设 问 突 破 篇 考法２　两点一线“异侧差”最大（２０１９．１４） 问题：如图，两定点 Ａ，Ｂ位于直线 ｌ异侧，在 直线ｌ上找一点Ｐ，使得｜ＰＡ－ＰＢ｜的值最大 图示： 作法：作点 Ｂ关于直线 ｌ的对称点 Ｂ′，连接 ＡＢ′并延长，交直线 ｌ于点 Ｐ，此时｜ＰＡ－ＰＢ｜ 的值最大，最大值为ＡＢ′ 总结：异化同，延长定位置 原理：两点之间，线段最短 ３．（２０１９陕西１４题改编）如图，在菱形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝６，∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＣ与 ＢＤ交于点 Ｏ，点Ｎ在ＡＣ上且ＡＮ＝２，点Ｍ在ＢＣ上且 ＢＭ＝２３ＢＣ，Ｐ为对角线 ＢＤ上一点，则 ＰＭ－ＰＮ的最大值为　　　　． 第３题图 　　 第４题图 考法３　两线一点周长最小 问题：如图，点Ｐ在∠ＡＯＢ的内部，在ＯＡ上找 一点Ｃ，在 ＯＢ上找一点 Ｄ，使得△ＰＣＤ的周 长最小 图示： 作法：分别作点Ｐ关于射线ＯＡ，ＯＢ的对称点 Ｐ′，Ｐ″，连接Ｐ′Ｐ″，分别交射线ＯＡ，ＯＢ于点Ｃ， Ｄ，此时△ＰＣＤ的周长最小，最小值为Ｐ′Ｐ″ 原理：两点之间，线段最短 ４．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｃ＝７２°，∠Ｂ＝ ∠Ｄ＝９０°，Ｍ，Ｎ分别是 ＢＣ，ＤＣ上的点，当 △ＡＭＮ的周长最小时，∠ＭＡＮ的度数为 （　Ａ　） Ａ．７２°　　Ｂ．３６°　　Ｃ．１０８°　　Ｄ．３８° 考法３类比变式１：两线两点周长最小［２０１６．２５ （２）］ 问题：如图，在直线 ｌ１和 ｌ２上分别求点 Ｍ，Ｎ， 使得四边形ＰＱＮＭ的周长最小 图示： 作法：分别作点Ｐ，Ｑ关于直线ｌ１，ｌ２的对称点Ｐ′， Ｑ′，连接Ｐ′Ｑ′与两直线的交点即为点Ｍ，Ｎ，此时 四边形ＰＱＮＭ周长最小，为ＱＰ＋Ｑ′Ｐ′ 原理：作对称，两点之间，线段最短 考法３类比变式２：三动点求周长最小值［２０１８．２５ （３）］ 问题：如图，在直线 ｌ１，ｌ２和 ｌ３上分别求点 Ｐ， Ｍ，Ｎ，使得△ＰＭＮ的周长最小 图示： 作法：将点Ｐ看作定点，分别作点Ｐ关于直线 ｌ２，ｌ３的对称点Ｐ′，Ｐ″，连接Ｐ′Ｐ″，与两直线的交点 即为点Ｍ，Ｎ，此时△ＰＭＮ周长最小，为Ｐ′Ｐ″ 原理：作对称，两点之间，线段最短 ５．（２０２３西安市爱知中学七下期末）在扇形 ＯＡＢ中，∠ＡＯＢ＝３０°，扇形所在圆的半径为 １２，点Ｐ，Ｎ，Ｍ分