模型09 辅助圆模型-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·培优册

培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 模型九　辅助圆模型（８年２考） 类 型 １　“定点定长”模型 例１　（２０２３西工大附中七下期中）在如图所示的△ＡＢＣ纸片中，点Ｅ是边ＡＢ的中点，点Ｆ是 边ＢＣ上任意一点，现将△ＢＥＦ沿 ＥＦ折叠，得到△Ｂ′ＥＦ，折痕 ＥＦ与△ＡＢＣ的角平分线 ＢＤ 相交于点Ｏ，连接ＣＢ′，当线段 ＥＢ′与 ＣＢ′的长度和最小时，∠ＥＯＢ＝１００°，则此时∠Ｂ′ＣＢ＝ 　　　　°． 例１题图 【点拨】Ｅ是ＡＢ的中点，将△ＢＥＦ沿ＥＦ折叠，得到△Ｂ′ＥＦ，则点Ｂ′在以Ｅ为圆心，ＢＥ长为半 径的半圆上．根据两点之间线段最短确定点Ｂ′的位置从而求解． 归纳总结 基本模型 演变模型 等距成圆 斜边中点圆 折叠成圆 圆心为点Ｏ； 半径为ｒ 圆心为点Ｏ； 半径为　　　　 圆心为点Ａ； 半径为　　　　 综合训练 等距成圆 １．如图，ＡＢ＝ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ，则∠ＡＣＢ的度数是　３０°　． 第１题图 ２．（优质原创）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，连接 ＡＣ，ＢＤ，已知 ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ，∠ＢＤＣ＝ ４５°，ＢＣ＝６ｃｍ，则Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝　　　　　　ｃｍ ２． 第２题图 ６１ 培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 斜边中点圆 ３．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝８，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＡＤ上，且ＥＦ＝６，Ｍ是ＥＦ的中点， 连接ＣＭ，则ＣＭ的最小值为　　　　． 第３题图 类 型 ２　“定角定边”模型［２０１９．２５（２）（３），２０１６．２５（３）］ 例２　（２０１９陕西２５题改编）如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝１０，∠Ｂ＝６０°，请在该 平行四边形中作出一个面积最大的△ＢＰＣ，且使∠ＢＰＣ＝９０°． 例２题图 【点拨】ＢＣ为定值，∠ＢＰＣ＝９０°且△ＢＰＣ的面积最大，则点 Ｐ是以 ＢＣ中点为圆心，１２ＢＣ长 为半径的圆与ＡＤ的交点． 归纳总结 模型 解读 如图，ＡＢ为定长，∠Ｃ为定角，此模型称为“定角定边”模型 定圆心 和半径 △ＡＢＣ任意两边垂直平分线的交点即为圆心，圆心与Ａ，Ｂ，Ｃ的连线为半径 面积 最值 如图，作△ＡＢＣ的外接圆⊙Ｏ，点Ｃ的运动轨迹为 ) ＡＣＢ，分别过点Ｃ， Ｏ作ＡＢ垂线，则有ＯＣ＋ＯＥ≥ＣＤ，取“＝”（即点Ｃ位于 ) ＡＢ的中点） 时，Ｓ△ＡＢＣ有最大值 线段 最值 如图，构造ＡＣ＝ＣＥ，作△ＡＢＥ的外接圆⊙Ｏ，则ＡＣ＋ＢＣ＝ＣＥ＋ＢＣ， 当ＢＥ过圆心Ｏ时，ＡＣ＋ＢＣ有最大值，为⊙Ｏ的直径 图形 演变 （角为直角） 　　　　 （角为钝角） ７１ 培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 综合训练 ４．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝１２０°，ＢＣ＝６，则△ＡＢＣ面积的最大值为　　　　． 第４题图 　　　　 第５题图 ５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，∠ＡＣＢ＝９０°，则△ＡＢＣ的周长的最大值为　　　　． ６．（２０２３西安市未央区模拟节选）如图，已知矩形ＡＢＣＤ，ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，Ｐ是矩形 ＡＢＣＤ内一 点，且满足∠ＡＰＢ＝９０°，连接ＣＰ，求线段ＣＰ的最小值． 【自主作答】 第６题图 类 型 ３　“定角定高”模型 例３　如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝６０°，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，ＡＤ＝４，则△ＡＢＣ面积的最小值为　　　　． 例３题图 【点拨】∠ＢＡＣ＝６０°，ＡＤ为定值，要求面积最小值，考虑“定角定高”模型． 归纳总结 模型解读 如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ为ＢＣ边上的高且为定长，∠ＢＡＣ为定角，此模 型称为“定角定高”模型 面积最值 作△ＡＢＣ的外接圆⊙Ｏ，过点 Ｏ作 ＢＣ的垂线，可得ＯＡ＋ＯＥ≥ＡＤ，设 ⊙Ｏ半径为ｒ，即ｒ＋ｓｉｎ∠ＯＢＥ獉ｒ≥ＡＤ，取“＝”时半径取得最小值，此 时ＢＣ取得最小值，Ｓ△ＡＢＣ取得最小值 ８１ 培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 综合训练 ７．（优质原创）已知在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ，ＢＤ＝３，则ＡＣ的最小值是 （　Ａ　） Ａ．５　　　　　　　　Ｂ．６槡３　　　　　　　　Ｃ．９槡３　　　　　　　　Ｄ．１８槡３ 第７题图 　　 第８题图 ８．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝１２，点Ｅ，Ｆ均在ＡＤ上，且∠ＡＢＥ＋∠ＦＣＤ＝９０°，则四边 形ＢＣＦＥ面积的最大值为　　　　． 类 型 ４　“最大张角”模型 提出问题 （２０２２陕师大附中模拟节选）如图，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，过点 Ｃ作 ⊙Ｏ的切线ｌ，在ｌ上任取一个不同于点Ｃ的点Ｐ，连接ＰＢ，ＰＡ，则 ∠ＡＣＢ　　　　∠ＡＰＢ（填“＞”“＜”或“＝”） 模型解读 如图，点Ａ，Ｂ是∠ＭＤＮ的边 ＤＮ上的两个定点，Ｐ是边 ＤＭ 上一点，则当且仅当三角形ＡＢＰ的外接圆⊙