模型08 点圆、线圆最值问题-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·培优册

培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 模型八　点圆、线圆最值问题（８年５考） 类 型 １　点圆最值问题［２０２１．１３，２０１８．２５（２），２０１７．２５（３），２０１６．１４］ Ⅰ．模型结构：圆上动点Ｐ与圆所在平面内定点Ａ之间距离的最值问题． Ⅱ．模型构图及解决方案（⊙Ｏ半径为ｒ） 定点Ａ在圆内 定点Ａ在圆上 定点Ａ在圆外 图示 解决 方案 “一箭穿心”定交点Ｐ，“近点”有最小值，“远点”有最大值．  本质是直径是最长的弦 最大值 ｒ＋ＯＡ（即ＡＰ２） ２ｒ ｒ＋ＯＡ（即ＡＰ２） 最小值 ｒ－ＯＡ（即ＡＰ１） 　　　　 ＯＡ－ｒ（即ＡＰ１） １．（多解法）（２０２１陕西１３题３分）如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，⊙Ｏ的半径为１．若⊙Ｏ在 正方形ＡＢＣＤ内平移（⊙Ｏ可以与该正方形的边相切），则点Ａ到⊙Ｏ上的点的距离的最大 值为　　　　． 第１题图 【点拨】当⊙Ｏ与ＣＢ、ＣＤ都相切时，ＡＯ的延长线与⊙Ｏ的交点即为点Ａ到⊙Ｏ上距离最大 的点． 类 型 ２　过圆内一定点（非圆心）的弦的最值问题 已知半径为ｒ的⊙Ｏ内一定点Ａ，ＭＮ为过点Ａ的弦，确定ＭＮ的最值，设ＯＡ＝ｄ 图示 ＭＮ的最值 ＭＮ最大 ＝２ｒ ＭＮ最小 ＝２ ｒ ２－ｄ槡 ２ ２．（北师九下Ｐ１０６第１７题改编）如图，⊙Ｏ的半径为１０，若ＯＰ＝８，则经过点Ｐ的弦长可能是 （　Ｃ　） Ａ．１０　　　　　　　Ｂ．６　　　　　　　　　Ｃ．１９　　　　　　　　　Ｄ．２２ 第２题图 ３１ 培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 类 型 ３　线圆最值问题（２０２３．２６） Ⅰ．模型结构：圆上动点Ｐ到直线ＡＢ距离的最值问题 Ⅱ．模型构图及解决方案（⊙Ｏ半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ＡＢ的距离为ｄ） 直线ＡＢ与⊙Ｏ相离 直线ＡＢ与⊙Ｏ相切 直线ＡＢ与⊙Ｏ相交 图示 解决方案 过点Ｏ作ＡＢ的垂线，交⊙Ｏ于点Ｐ，交直线ＡＢ于点Ｃ 最大值 ｄ＋ｒ ２ｒ 　　　　 ｒ－ｄ 最小值 ｄ－ｒ ０ 　　　　 ３．（优质原创）如图，∠ＡＢＣ＝６０°，点Ｏ在射线ＢＣ上，ＯＢ＝４，以Ｏ为圆心在ＢＣ的上方作半径 为１的半圆，点Ｍ，Ｎ分别是射线ＢＡ，半圆上的动点，连接ＭＮ，则ＭＮ的最小值为　２槡３－１　． 第３题图 类 型 ４　线上一点向圆作切线，切线长最值问题 问题：⊙Ｏ的半径为ｒ，点Ｏ到直线 ｌ的距离为 ｄ（ｄ＞ｒ）， 点Ｍ是ｌ上一动点，ＭＮ切⊙Ｏ于点Ｎ，求ＭＮ的最小值 思路：连接 ＯＭ，ＯＮ，ＭＮ是⊙Ｏ的切线，则 ＯＮ⊥ＭＮ，则 ＭＮ２＝　ＯＭ２－ｒ２　，即当　ＯＭ　最小时，ＭＮ最小，此 时ＯＭ　⊥　ｌ（填位置关系），ＯＭ＝　ｄ　，则ＭＮ的最小 值为　 ｄ２－ｒ槡 ２　 → ４．在平面直角坐标系中，点Ａ（１，０），点Ｍ（０，１），以Ｍ为圆心，ＭＡ为半径画圆，交ｘ轴于另一点Ｂ． （１）如图①，Ｃ是ＡＢ上方圆弧上的动点，连接ＡＣ，ＢＣ，则Ｓ△ＡＢＣ的最大值为　槡２＋１　； （２）如图②，Ｄ是直线ｘ＝２上一点，Ｃ是ＡＢ上方圆弧上一点，ＣＤ与⊙Ｍ相切，则ＣＤ的最小 值为　槡２　． 图① 　　　　　　 图② 第４题图 ４１ 培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 综合训练 １．（２０１５陕西１４题改编）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，Ｃ是优弧 ) ＡＢ上一动点，连接ＡＣ，ＢＣ，Ｍ，Ｎ分别 是ＡＢ，ＢＣ的中点，连接ＭＮ． （１）若ＭＮ取得最大值，则点Ｏ在线段　ＡＣ　上； （２）若ＡＢ＝８，∠ＡＣＢ＝４５°，则ＭＮ的最大值为　４槡２　． 第１题图 ２．如图，在平面直角坐标系中，Ａ（６，０），Ｂ（０，８），点Ｃ在ｘ轴正半轴上，点Ｄ在ｙ轴正半轴上， 且ＣＤ＝６，以 ＣＤ为直径在第一象限作半圆，交线段 ＡＢ于点 Ｅ、Ｆ，则线段 ＥＦ的最大值 为　４．８　． 第２题图 ３．（２０２３台州）如图，⊙Ｏ的圆心Ｏ与正方形的中心重合，已知⊙Ｏ的半径和正方形的边长都 为４，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为 （　Ａ　） Ａ．槡２　　　　　　Ｂ．２　　　　　　Ｃ．４＋２槡２　　　　　　Ｄ．４－２槡２ 第３题图 ４．（优质原创）如图，在边长为４的正方形ＡＢＣＤ中，Ｏ为对角线ＡＣ上一动点，若⊙Ｏ的半径为 １，Ｐ为⊙Ｏ上任意一点，连接ＰＡ，ＰＢ，则△ＰＡＢ的最大面积为　　　　． 第４题图 ５１ 一战成名·陕西数学 培 优 册 ＝４５°，如解图，将△ＡＢＤ绕点 Ａ逆时针旋转 ９０°得到 △ＡＣＦ，连接 ＥＦ，则 ＡＦ＝ＡＤ，ＣＦ＝ＢＤ＝２，∠ＢＡＤ＝ ∠ＣＡＦ，∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＦ＝４５°，∴∠ＥＡＦ＝∠ＥＡＣ＋ ∠ＣＡＦ＝∠ＥＡＣ＋∠ＢＡＤ＝４５°＝∠ＤＡＥ，∠ＥＣＦ＝９０°， 又∵ＡＥ＝ＡＥ，∴△ＤＡＥ≌△ＦＡＥ，∴ＤＥ＝ＥＦ，∵ＡＢ＝ＡＣ 槡＝４２