模型06 半角模型-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·培优册

培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 模型六　半角模型 类 型 １　等腰直角三角形中含半角 例１题图 例１　（多解法）如图，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，Ｄ，Ｅ是斜边ＢＣ 上两点，∠ＤＡＥ＝４５°，ＢＤ＝３，ＣＥ＝４，则三角形ＡＢＣ的面积为　３６　． 【点拨】解法１：旋转法．将△ＡＥＣ绕点Ａ顺时针旋转９０°构造全等进行计算． 解法２：翻折法．将△ＡＣＥ和△ＡＢＤ分别沿ＡＥ，ＡＤ翻折，构造全等进行计算． 归纳总结 图形 作法 结论 （△ＡＢＣ为等腰直角三角 形，∠ＢＡＣ＝９０°） 作法１：将△ＡＢＤ绕点 Ａ逆时针 旋转９０° △ＡＤＥ≌△ＡＦＥ； ∠ＥＣＦ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＣＦ２＋ＣＥ２＝ＥＦ２＝ＤＥ２ 作法２：将△ＡＢＤ，△ＡＣＥ分别沿 ＡＤ，ＡＥ翻折，点 Ｂ，Ｃ在点 Ｆ处 重合 ＢＤ＝ＤＦ，ＣＥ＝ＥＦ； ∠ＤＦＥ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＤＦ２＋ＥＦ２＝ＤＥ２ 演变图形：顶角为１２０°的等腰三角形中含６０°角 已知：△ＢＡＣ为等腰三角形，∠ＢＡＣ＝１２０° 作法：将ＡＤ绕点Ａ逆时针旋转１２０°构造全等 结论：△ＤＡＥ≌△ＦＡＥ，△ＡＦＣ≌△ＡＤＢ，∠ＦＣＥ＝６０° 类 型 ２　正方形中含半角 例２　（２０２３重庆Ａ卷）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＢＣ，ＣＤ上，连接 ＡＥ，ＡＦ，ＥＦ， ∠ＥＡＦ＝４５°．若∠ＢＡＥ＝α，则∠ＦＥＣ一定等于 （　Ａ　） 　 　 　 　 　 　 　　　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　Ａ．２α Ｂ．９０°－２α Ｃ．４５°－α Ｄ．９０°－α 例２题图 【点拨】∠ＥＡＦ＝４５°，即直角中含半角，将△ＡＤＦ绕点Ａ顺时针旋转９０°构造全等进行计算． ０１ 培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 归纳总结 图形 作法 结论 将△ＡＤＥ绕点Ｄ逆时针旋转９０° △ＤＥＦ≌△ＤＭＦ； ＤＣ＝ＤＧ； ＥＦ＝ＭＦ＝ＣＭ＋ＣＦ＝ＡＥ＋ＣＦ 综合训练 １．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｍ，Ｎ分别为边 ＢＣ和 ＣＤ上的动点（不含端点），若 ＡＢ＝槡２， ∠ＭＡＮ＝４５°，则△ＭＮＣ的周长是 （　Ａ　） Ａ．槡２　　　　　　　Ｂ．２　　　　　　　Ｃ．２槡２　　　　　　　Ｄ．３ 第１题图 　　　　 第２题图 　　　　　 第３题图 ２．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝４槡２，Ｄ，Ｅ为 ＢＣ上两点，且∠ＤＡＥ＝４５°，若 ＢＤ＝２，则ＣＥ＝　　　　． ３．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＡＢ＝４，动点 Ｍ，Ｎ分别在 ＡＤ，ＣＤ上（不含端点），若 ∠ＭＢＮ＝６０°，则四边形ＢＭＤＮ周长的最小值是　　　　． 模型七　手拉手模型 类 型 １　全等———手拉手模型 例１　（２０２３榆林市期末节选）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫作“同源三角 例１题图 形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，△ＡＢＣ和△ＣＤＥ为“同源 三角形”，ＡＣ＝ＢＣ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＢ与∠ＤＣＥ为“同源角”．试判断 ＡＤ 与ＢＥ的数量关系，并说明理由． 【自主作答】 归纳总结 基本图形 演变图形 △ＡＢＣ和△ＡＤＥ是等腰三 角形，且∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ 　　　 　　　 １１ 一战成名·陕西数学 培 优 册 １．１　【解析】解法１：如解图①，过点 Ｄ作 ＤＧ∥ＢＣ交 ＡＢ 于点Ｇ，则∠ＤＧＢ＝∠ＤＣＦ＝１２０°，∠ＧＤＣ＝∠ＥＤＦ＝ １２０°，∴∠ＧＤＥ＝∠ＣＤＦ，∵Ｄ是 ＡＣ的中点，∴ＤＧ是 △ＡＢＣ的中位线，∴ＤＧ＝１２ＢＣ＝ＤＣ＝ＢＧ＝２，∴△ＧＤＥ ≌△ＣＤＦ，∴ＧＥ＝ＣＦ，∵ＢＥ＝１，∴ＣＦ＝ＧＥ＝１． 图① 　　 图② 第１题解图 解法２：如解图②，过点Ｄ分别作ＤＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，ＤＮ⊥ ＢＣ于点Ｎ，连接ＢＤ，∵Ｄ是 ＡＣ的中点，∴ＢＤ是∠ＡＢＣ 的平分线，∴ＤＭ＝ＤＮ，∵∠ＡＢＣ＝６０°，∴∠ＭＤＮ＝ １２０°，∴∠ＭＤＥ＋∠ＮＤＥ＝∠ＮＤＥ＋∠ＮＤＦ，∴∠ＭＤＥ ＝∠ＮＤＦ，∵∠ＤＭＥ＝∠ＤＮＦ＝９０°，∴△ＤＭＥ≌△ＤＮＦ （ＡＳＡ），∴ＭＥ＝ＮＦ，在 Ｒｔ△ＡＤＭ中，ＡＤ＝２，∠Ａ＝６０°， ∴ＡＭ＝１，同理，ＣＮ＝１，∴ＭＥ＝ＡＢ－ＡＭ－ＢＥ＝２，∴ＮＦ ＝２，∴ＣＦ＝１． ２．证明略． 模型五　十字模型 例　证明略． １．Ｄ ２．Ｂ　【解析】如解图，过点 Ｈ作 ＨＭ⊥ＡＢ，垂足为 Ｍ，过点 Ｆ作ＦＮ⊥ＡＤ，垂足为 Ｎ，设 ＨＭ，ＦＥ交于点 Ｏ，则 ＮＦ＝ ＡＢ，ＭＨ＝ＢＣ，∠ＥＮＦ＝∠ＧＭＨ＝９０°，∵ＥＦ⊥ＧＨ，∴ ∠ＧＨＭ＋∠ＨＯＥ＝∠ＥＦＮ＋∠ＦＯＭ＝９０°，又∵∠ＨＯＥ＝ ∠ＦＯＭ，∴∠ＧＨＭ＝∠ＥＦＮ，∴△ＭＨＧ∽△ＮＦＥ，∴ＥＦ∶ ＧＨ＝ＮＦ∶ＨＭ＝ＡＢ∶ＢＣ＝２∶３．