模型04 对角互补模型&模型05十字模型-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·培优册

培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 模型四　对角互补模型（２０１７．１４） 例题图 例　（多解法）（２０１７陕西１４题３分）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝ ∠ＢＣＤ＝９０°，连接ＡＣ，若ＡＣ＝６，则四边形ＡＢＣＤ的面积为　　　　． 【点拨】解法１：过点Ａ作ＣＤ、ＢＣ的垂线得正方形． 解法２：将△ＡＤＣ绕点Ａ顺时针旋转９０°得到等腰直角三角形． 归纳总结 类型 双９０°对角互补 ６０°，１２０°对角互补 图示 （ＡＤ＝ＣＤ） （ＡＤ＝ＣＤ，∠ＡＤＣ＝６０°，∠ＡＢＣ＝１２０°） 作法 作垂直构全等 旋转构等腰直角三角形 作垂直构全等 旋转构等边三角形 结论 ①△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ ②四边形 ＢＥＤＦ是 正方形 ③ＢＣ－ＣＦ＝ＡＢ＋ＣＦ ①△ＤＡＢ≌△ＤＣＧ ②△ＢＤＧ是等腰直角三 角形，ＤＢ＝ＤＧ ③ＡＢ＋ＢＣ＝槡２ＢＤ ① △ＡＥＤ≌△ＣＦＤ ②△ＤＥＦ是等边三 角形 ③ＢＣ＝ＡＢ＋２ＣＦ ①△ＤＡＢ≌△ＤＣＧ ②△ＢＤＧ是等边三 角形 ③ＡＢ＋ＢＣ＝ＢＤ 综合训练 １．（多解法）如图，等边三角形ＡＢＣ的边长为４，Ｄ是边ＡＣ的中点，Ｅ在边ＡＢ上，ＢＥ＝１，点Ｆ 在边ＢＣ的延长线上，且∠ＥＤＦ＝１２０°，则ＣＦ的长为　　　　． 第１题图 ２．（２０２３大连）如图，在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，延长ＢＣ交ＤＥ于Ｆ．ＢＣ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＡＥ，∠ＡＣＦ＋∠ＡＥＤ ＝１８０°．求证：ＡＢ＝ＡＤ． 第２题图 ８ 培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 模型五　十字模型 例　（华师八下Ｐ１２１第２题）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＣＥ⊥ＤＦ．求证：ＣＥ＝ＤＦ． 【自主作答】 例题图 归纳总结 基本图形 演变图形 图形 结论 △ＡＢＥ≌△ＢＣＦ， △ＡＢＧ∽ △ＢＥＧ ∽△ＢＦＣ △ＡＢＥ≌△ＭＦＮ， ＭＮ＝ＡＥ △ＡＢＧ≌△ＤＡＦ， △ＡＢＧ∽△ＢＥＧ∽△ＡＥＢ， ＦＧ＝ＤＦ－ＢＧ △ＡＢＤ≌△ＣＤＢ， △ＡＢＦ∽△ＤＡＦ∽ △ＤＢＡ∽△ＢＥＦ 综合训练 １．（２０２２西工大附中九上期末）如图，在边长为４槡３的正方形ＡＢＣＤ中，∠ＣＤＥ＝３０°，ＤＥ⊥ＣＦ， 则ＡＦ的长为 （　Ａ　） Ａ．４－２槡３　　　　　　Ｂ．２槡３－４　　　　　Ｃ．４－４槡３　　　　　Ｄ．４槡３－４ 第１题图 ２．如图，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是矩形ＡＢＣＤ四条边上的点，已知ＥＦ⊥ＧＨ，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，则ＥＦ∶ＧＨ 为 （　Ｂ　） Ａ．３∶２ Ｂ．２∶３ Ｃ．４∶９ Ｄ．９∶４ 第２题图 ９ 一战成名·陕西数学 培 优 册 设∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＤ＝α，∠ＢＤＣ＝β，则∠ＡＤＢ＝α＋β， ∵ＣＡ＝ＣＤ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ＝α＋２β， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ－∠ＢＡＤ＝２β， 又∵ＡＣ＝ＡＢ， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ， ∴∠ＡＣＢ＝１２×（１８０°－２β）＝９０°－β， ∴∠ＡＣＤ＝９０°－β＋α， ∵∠ＡＣＤ＋∠ＣＡＤ＋∠ＣＤＡ＝１８０°， ∴９０°－β＋α＋α＋２β＋α＋２β＝１８０°， ∴α＋β＝３０°，即∠ＡＤＢ＝３０°． 模型三　一线三等角（含弦图） 例１　Ｂ 例２　Ｄ　【解析】解法１：由题意知，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ ５ｃｍ，ＡＣ＝６ｃｍ，如解图①，过点Ｂ作ＢＭ⊥ＡＣ于点Ｍ，过 点Ｄ作ＤＮ⊥ＣＥ于点Ｎ，则∠ＢＭＣ＝∠ＣＮＤ＝９０°，ＡＭ＝ ＣＭ＝１２ＡＣ＝ １ ２×６＝３，ＣＮ＝ＥＮ，∵ＣＤ⊥ＢＣ，∴∠ＢＣＤ ＝９０°，∴∠ＢＣＭ＋∠ＣＢＭ＝∠ＢＣＭ＋∠ＤＣＮ＝９０°， ∴∠ＣＢＭ ＝ ∠ＤＣＮ， 在 △ＢＣＭ 和 △ＣＤＮ 中， ∠ＣＢＭ＝∠ＤＣＮ， ∠ＢＭＣ＝∠ＣＮＤ， ＢＣ＝ＤＣ { ， ∴△ＢＣＭ≌△ＣＤＮ（ＡＡＳ），∴ＢＭ＝ ＣＮ，在 Ｒｔ△ＢＣＭ 中，∵ ＢＣ＝５，ＣＭ ＝３，∴ ＢＭ ＝ ＢＣ２－ＣＭ槡 ２＝ ５２－３槡 ２＝４，∴ＣＮ＝４，∴ＣＥ＝２ＣＮ＝２× ４＝８． 解法２点拨：旋转法．如解图②，将△ＡＢＣ绕点 Ｃ顺时针 旋转９０°，构造直角三角形Ａ′ＣＥ，∴ＣＥ＝ Ａ′Ｅ２－Ａ′Ｃ槡 ２＝ １０２－６槡 ２＝８． 图① 　　 图② 例２题解图 例３　Ｄ 例４　 槡１５５４ 　【解析】如解图，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＤ＝ ＡＢ２＋ＢＤ槡 ２ 槡＝３５，∵∠ＡＢＤ＝∠ＥＦＤ ＝∠ＥＤＡ＝９０°，∴易得△ＥＤＦ∽△ＤＡＢ，ＡＢ∥ＥＦ，∴ＥＦＢＤ ＝ＤＦＡＢ，即 ＥＦ ３＝ ＤＦ ６，∴ＤＦ＝２ＥＦ①，∵ＢＣ＝１２，ＢＤ＝３，∴ ＣＤ＝９，ＣＦ＝９－ＤＦ，又∵ＡＢ∥ＥＦ，∴ＥＦＡＢ＝ ＣＦ ＣＢ，即 ＥＦ ６＝ ９－ＤＦ １２ ②，联立①②，解得 ＥＦ＝ ９ ４，∴ＤＦ＝ ９ ２，∴ＤＥ＝ 槡９５ ４，在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＥ＝ ＡＤ ２＋ＥＤ槡 ２＝ 槡１５５４ ．