模型03 一线三等角(含弦图)-【一战成名新中考】2024陕西中考数学·培优册

培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 模型三　一线三等角（含弦图）（８年２考） 类 型 １　全等———一线三等角基本模型 例１　 （２０２３榆林市横山区期末）如图为某单摆装置示意图，摆线长ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝１７ｃｍ，当 摆线位于ＯＢ位置时，过点Ｂ作ＢＤ⊥ＯＡ于点Ｄ，测得ＯＤ＝１５ｃｍ，当摆线位于 ＯＣ位置时， ＯＢ与ＯＣ恰好垂直，则此时摆球到ＯＡ的水平距离ＣＥ的长为（ＣＥ⊥ＯＡ） （　Ａ　） Ａ．１７ｃｍ　　　　　　　Ｂ．１５ｃｍ　　　　　　　Ｃ．１２ｃｍ　　　　　　　Ｄ．５ｃｍ 例１题图 【点拨】∠ＢＤＯ＝∠ＢＯＣ＝∠ＯＥＣ＝９０°，ＯＢ＝ＯＣ，存在一线三等角． 归纳总结 基本图形 演变图形 ∠１＝∠２＝∠３，ＡＢ＝ＣＤ 　　 　　 重要结论：△ＡＢＣ≌△ＣＤＥ 【拓展】内弦图和外弦图 内弦图 △ＡＢＥ≌△ＢＣＦ≌ △ＣＤＧ≌△ＤＡＨ 外弦图 △ＡＨＥ≌△ＢＥＦ≌ △ＣＦＧ≌△ＤＧＨ 类 型 ２　全等———构造一线三等角（２０２１．７） 例２　（多解法）（２０２１陕西７题３分）如图，ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＥ是四根长度均为５ｃｍ的火柴棒，点 Ａ、Ｃ、Ｅ共线．若ＡＣ＝６ｃｍ，ＣＤ⊥ＢＣ，则线段ＣＥ的长度是 （　Ａ　） Ａ．６ｃｍ 例２题图 Ｂ．７ｃｍ Ｃ．６槡２ｃｍ Ｄ．８ｃｍ 【点拨】解法１：分别过点Ｂ，Ｄ作ＡＥ的垂线，构造一线三等角； 解法２：旋转法．将△ＡＢＣ绕点Ｃ顺时针旋转９０°，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出ＣＥ． ５ 培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 归纳总结 辅助线方法 图形（ＡＢ＝ＢＣ） 重要结论 遇“等腰直角三角 形”作“垂直”构造一 线三等角 　　　 △ＡＢＤ≌△ＢＣＥ 类 型 ３　相似———一线三等角基本模型（２０１７．８） 例３　（２０２３榆林市模拟）如图，在等边△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在边ＢＣ，ＡＣ上，∠ＡＤＥ＝６０°，若 ＡＤ＝４，ＢＤＣＥ＝ ３ ２，则ＤＥ的长度为 （　Ａ　） Ａ．１ Ｂ．４３ Ｃ．２ Ｄ． ８ ３ 例３题图 【点拨】∠Ｂ＝∠ＡＤＥ＝∠Ｃ，则存在一线三等角，利用相似列比例关系求解． 归纳总结 基本图形 演变图形 ∠１＝∠２＝∠３ 　　　　　 重要结论：△ＡＢＤ∽△ＤＣＥ 类 型 ４　相似———构造一线三等角 例４　如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝６，ＢＣ＝１２，点Ｄ在ＢＣ上，ＢＤ＝３，连接ＡＤ，过点Ｄ 作ＤＥ⊥ＡＤ交ＡＣ于点Ｅ，则ＡＥ＝　　　　． 例４题图 【点拨】∠Ｂ＝∠ＡＤＥ，过点Ｅ作ＢＣ的垂线，构造一线三等角． ６ 培优册·陕西数学 第 一 部 分 必 备 模 型 突 破 篇 归纳总结 辅助线方法 图形 重要结论 遇“非等腰直角三角形”作 “三垂直”构造相似 　　 △ＡＢＤ∽△ＤＥＣ 遇一直线上有两个等角构 造相似 （∠１＝∠２＝∠３） △ＡＢＤ∽△ＥＤＣ 综合训练 １．（多解法）（２０２３汉中市汉台区模拟）如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为８，在各边上顺次截取 ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ＝６，则四边形ＥＦＧＨ的面积是 （　Ａ　） 　　　 　 　　　 　　　　　 　　　 　　 　　　　　　 　 　　　　　 　　　　Ａ．３４ Ｂ．３６ Ｃ．４０ Ｄ．１００ 第１题图 　　　　　　 第２题图 ２．（２０２３陕西模拟）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＢＣ的中点，连接ＡＥ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＥ交ＤＣ 于点Ｆ．若ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，则ＣＦ的长为 （　Ａ　） Ａ．９４ Ｂ．槡３ Ｃ． ３ ２ Ｄ．１ ３．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＣ⊥ＤＣ．过点 Ｂ作 ＢＥ⊥ＣＡ，垂足为点 Ｅ．若 ＣＤ＝２，ＣＥ＝６，则四边形ＡＢＣＤ的面积是　　　　． 第３题图 　　　　　 第４题图 ４．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，等腰Ｒｔ△ＧＥＦ的直角顶点Ｅ在ＢＣ上，点Ｇ和点Ｆ分 别在ＡＤ，ＣＤ上，若ＣＦ＝１，则ＡＧ的长为　　　　． ５．如图，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为边ＢＣ上一点，Ｆ为边ＡＢ上一点．若∠ＤＥＦ＝∠Ｂ，ＡＢ＝１０，ＢＥ＝６， 则 ＥＦ ＤＥ的值为　　　　． 第５题图 ７ 一战成名·陕西数学 培 优 册 设∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＤ＝α，∠ＢＤＣ＝β，则∠ＡＤＢ＝α＋β， ∵ＣＡ＝ＣＤ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ＝α＋２β， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ－∠ＢＡＤ＝２β， 又∵ＡＣ＝ＡＢ， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ， ∴∠ＡＣＢ＝１２×（１８０°－２β）＝９０°－β， ∴∠ＡＣＤ＝９０°－β＋α， ∵∠ＡＣＤ＋∠ＣＡＤ＋∠ＣＤＡ＝１８０°， ∴９０°－β＋α＋α＋２β＋α＋２β＝１８０°， ∴α＋β＝３０°，即∠ＡＤＢ＝３０°． 模型三　一线三等角（含弦图） 例１　Ｂ 例２　Ｄ　【解析】解法１：由题意知，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ ５ｃｍ