题型01 反比例函数与一次函数综合题-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 　　三、山东中考培优———解答重难题型篇 解 答 重 难 题 型 篇 题型一　反比例函数与一次函数综合题 　　　　　　　　　　　　　　　　类 型 １ 平行四边形存在性问题 １．（２０２３泸州）如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋２与 ｘ，ｙ轴分别相交于 点Ａ，Ｂ，与反比例函数ｙ＝ｍｘ（ｘ＞０）的图象 相交于点 Ｃ，已知 ＯＡ＝１，点 Ｃ的横坐标 为２． （１）求ｋ，ｍ的值； （２）平行于ｙ轴的动直线与ｌ和反比例函数 的图象分别交于点 Ｄ，Ｅ，若以 Ｂ，Ｄ，Ｅ， Ｏ为顶点的四边形为平行四边形，求点 Ｄ的坐标． 第１题图 解：（１）∵ＯＡ＝１， ∴点Ａ的坐标为（－１，０）， ∴－ｋ＋２＝０， 解得ｋ＝２， ∴直线ｌ的解析式为ｙ＝２ｘ＋２， ∵点Ｃ在直线ｌ上，点Ｃ的横坐标为２， ∴点Ｃ的纵坐标为２×２＋２＝６， ∴点Ｃ的坐标为（２，６）， ∴ｍ＝２×６＝１２； （２）点Ｄ的坐标为（槡６，２槡６＋２）或（槡７－１，２槡７）． 详解见本书Ｐ１１４． ２．（２０２２济南２５题１０分）如图，一次函数ｙ＝ １ ２ｘ＋１的图象与反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＞０） 的图象交于点Ａ（ａ，３），与ｙ轴交于点Ｂ． （１）求ａ，ｋ的值； （２）直线 ＣＤ过点 Ａ，与反比例函数图象交 于点Ｃ，与 ｘ轴交于点 Ｄ，ＡＣ＝ＡＤ，连 接ＣＢ． ①求△ＡＢＣ的面积； ②点Ｐ在反比例函数的图象上，点Ｑ在 ｘ轴上，若以点Ａ，Ｂ，Ｐ，Ｑ为顶点的四 边形是平行四边形，请求出所有符合 条件的点Ｐ坐标． 第２题图 　　 备用图 解：（１）把Ａ（ａ，３）代入ｙ＝１２ｘ＋１，得 １ ２ａ＋１＝３， ∴ａ＝４，∴Ａ（４，３）， 把Ａ（４，３）代入ｙ＝ｋｘ，得３＝ ｋ ４， ∴ｋ＝１２； （２）①Ｓ△ＡＢＣ＝８； ②点Ｐ的坐标为（３，４）或（６，２）． 详解见本书Ｐ１１４                                                              ． ３７ 培优册·山东数学 解 答 重 难 题 型 篇 类 型 ２　等腰三角形（含菱形）存在性问题 ３．如图，反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象与一 次函数ｙ＝ｍｘ＋ｎ的图象交于点 Ａ（２，６）， 且ｙ＝ｍｘ＋ｎ与ｙ＝４ｘ＋２的图象交于 ｙ轴 上同一点Ｂ．将过点 Ａ，Ｂ的直线向下平移， 平移后的直线与反比例函数的图象交于点 Ｃ，交ｙ轴于点Ｄ，且点Ｃ的横坐标为３． （１）求反比例函数与一次函数的表达式； （２）连接ＡＣ、ＡＤ，求△ＡＣＤ的面积； （３）在ｘ轴负半轴上确定一点Ｅ，使得以Ａ， Ｄ，Ｅ三点为顶点的三角形是等腰三角 形，请直接写出所有符合条件的点Ｅ的 坐标． 第３题图 解：（１）∵反比例函数 ｙ＝ｋｘ的 图象与一次函数 ｙ＝ｍｘ＋ｎ的 图象相交于点Ａ（２，６）， ∴ｋ＝２×６＝１２， ∴反比例函数的表达式为 ｙ＝１２ｘ； ∵ｙ＝４ｘ＋２的图象交ｙ轴于点Ｂ， ∴Ｂ（０，２）， ∵一次函数 ｙ＝ｍｘ＋ｎ的图象经过点 Ａ（２， ６），Ｂ（０，２）， ∴ ２ｍ＋ｎ＝６， ｎ＝２{ ， 解得 ｍ＝２，ｎ＝２{ ， ∴一次函数的表达式为ｙ＝２ｘ＋２； （２）∵点Ｃ的横坐标为３， ∴ｙ＝１２３＝４，∴Ｃ（３，４）， ∵ＣＤ∥ＡＢ， ∴设直线ＣＤ的解析式为ｙ＝２ｘ＋ｂ， ∴４＝２×３＋ｂ，∴ｂ＝－２， ∴Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２ＡＦ·ｘＣ＝ １ ２×４×３＝６； （３）点Ｅ的坐标为（－８，０）或（２－４槡２，０）． 详解见本书Ｐ１１５． ４．如图，直线ｌ与反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的 图象交于Ａ（－１，３），Ｂ（－３，ａ）两点． （１）求反比例函数和直线ｌ的解析式； （２）若直线ｌ在反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的 图象上方，请直接写出ｘ的取值范围； （３）点Ｍ在ｙ轴上，点Ｎ为坐标平面内任一 点，若以 Ａ、Ｂ、Ｍ、Ｎ四点构成的四边形 为菱形，请直接写出点Ｎ的坐标． 第４题图 解：（１）∵反比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象经过 Ａ（－１，３）， ∴将Ａ（－１，３）代入 ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）得，３＝ ｋ －１，解 得ｋ＝－３， ∴反比例函数的解析式为ｙ＝－３ｘ； 将Ｂ（－３，ａ）代入ｙ＝－３ｘ得，ａ＝－ ３ －３＝１， ∴Ｂ（－３，１）， 设直线ｌ的解析式为ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ， 将Ａ（－１，３），Ｂ（－３，１）代入ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ， 得 －ｋ１＋ｂ＝３， －３ｋ１＋ｂ＝１{ ，解得 ｋ１＝１， ｂ＝４{ ， ∴直线ｌ的解析式为ｙ＝ｘ＋４； （２）由图象可得，直线ｌ在反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠ ０）的图象上方时，ｘ的取值范围是 －３＜ｘ＜－１ 或ｘ＞０； （３）