专题18 折叠模型-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题十八　折叠模型 　模型梳理 类型 图形 结论 一 次 折 叠 Ｂ′落在边上（折 痕ＡＥ） （１）△ＡＢＥ≌△ＡＢ′Ｅ； （２）四边形ＡＢＥＢ′是　正方形　； （３）∠ＢＡＥ＝∠ＢＥＡ＝　４５　°； （４）ＣＥ，ＡＤ，ＡＢ的关系：ＣＥ＝ＡＤ－ＡＢ （１）△ＡＢＥ≌△ＡＢ′Ｅ； （２）Ｋ型图：△ＡＤＢ′∽△Ｂ′ＣＥ； （３）直角三角形（常用勾股定理）：Ｒｔ△ＡＤＢ′，Ｒｔ△Ｂ′ＣＥ （１）△ＡＢＥ≌△ＡＢ′Ｅ； （２）△ＡＢＢ′是等腰三角形； （３）∠ＡＥＢ＝∠ＡＥＢ′＝　９０　°； （４）△ＢＡＥ∽△ＢＣＡ （１）△ＡＢＥ≌△ＡＢ′Ｅ； （２）∠ＢＡＥ＝∠Ｂ′ＡＥ＝　４５　° Ｂ′落在对角线 上（折痕ＡＥ） （１）△ＡＢＥ≌△ＡＢ′Ｅ； （２）已知ＡＢ，ＢＣ，求ＢＥ的方法： ①在Ｒｔ△ＣＥＢ′中通过勾股定理求； ②利用△ＣＥＢ′∽△ＣＡＢ求 Ｂ′落在对称轴 ＭＮ 上 （折 痕 ＡＥ） （１）∠ＢＡＥ，∠ＥＡＢ′，∠Ｂ′ＡＦ的度数为　３０　°； （２）△ＡＢＢ′和△ＡＥＦ是　等边　三角形； （３）当点Ｆ与点Ｄ重合时，ＡＤＡＢ＝　　　　 Ｂ′的轨迹为圆 （点 Ｅ是定点， 点Ｆ是动点） （１）△ＢＥＦ≌△Ｂ′ＥＦ； （２）△ＢＥＦ∽△ＣＢＤ； （３）点Ｂ′的轨迹在以点Ｅ为圆心，ＢＥ长为半径的圆上 （１）△ＢＥＦ≌△Ｂ′ＥＦ； （２）点 Ｂ′的轨迹为以点 Ｅ为圆心，ＢＥ长为半径的 圆上； （３）当ＥＢ′所在直线垂直ＡＣ时，点Ｂ′到ＡＣ的距离最小 ８５ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 两次折叠 （１）点Ａ，Ｆ，Ｅ三点共线； （２）ＢＧ＝ＦＧ＝ＣＧ，即点Ｇ为ＢＣ的中点； （３）∠ＡＧＥ＝９０°；Ｋ型图：△ＡＢＧ∽△ＧＣＥ； （４）ＧＦ⊥ＡＥ；△ＡＦＧ∽△ＧＦＥ∽△ＡＧＥ （１）△ＡＢＤ≌△ＡＢ′Ｄ≌△ＡＢ′Ｄ′； （２）ＡＢ′⊥ＢＣ； （３）△Ｂ′ＥＤ∽△                            ＢＡＣ 【方法总结】１．正确找出对应关系是解决折叠问题的关键； ２．折叠问题中的构造方法： （１）把条件集中到某一直角三角形中：利用勾股定理或锐角三角函数得方程，可利用三垂直 模型、等面积法等模型； （２）寻找相似三角形（或全等三角形）：根据相似比得方程，可利用８字型或Ａ字型等模型； （３）最值问题：可以采用垂线段最短、将军饮马、隐圆等解决； （４）特殊图形存在性问题：可以利用各图形的判定、两圆一线（定等腰）、两线一圆（定直角） 等方法解决． 　典例精析 例　如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在ＤＣ上，将矩形沿ＡＥ折叠，使点 Ｄ落 在ＢＣ边上的点Ｆ处．若ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，求ｔａｎ∠ＤＡＥ的值． 提取信息： 矩形的性质：ＡＤ＝　 ＢＣ　，ＡＢ＝　 ＤＣ　，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝ 　９０°　； 折痕：　ＡＥ　；点Ｄ的对应点：　 点Ｆ　 　； 轴对称的性质：ＡＦ＝　 ＡＤ　，ＥＦ＝　 ＥＤ　，∠ＡＦＥ＝　∠Ｄ　 ＝ 　９０°　；ＡＢ＝３，ＢＣ＝５ 锁定目标：求ｔａｎ∠ＤＡＥ＝　　　　，已知ＡＤ＝ＢＣ＝５，求出ＤＥ即可 思维导入： ＡＦ＝ＡＤ＝ＢＣ＝５，ＤＣ＝ＡＢ＝３，设 ＤＥ＝ｘ，则 ＣＥ＝３－ｘ．在 Ｒｔ△ＡＢＦ中， 易由勾股定理求得ＢＦ＝　４　，进而求得ＣＦ＝　１　． 思路一：可以发现在Ｒｔ△ＥＣＦ中，可通过勾股定理列方程　　　　　　； 思路二：若对“一线三等角”模型熟悉，可以很快发现△ＥＣＦ∽　　　　， 则 ＥＣ ＣＦ＝ ＦＢ ＢＡ，可列方程　　　　　　 ９５ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 自主作答（思路一）： 由ｘ２－１２＝（３－ｘ）２，解得ｘ＝５３， ∴ｔａｎ∠ＤＡＥ＝ＤＥＡＤ＝ ５ ３ ５＝ １ ３ 自主作答（思路二）： 由 ３－ｘ １ ＝ ４ ３，解得ｘ＝ ５ ３， ∴ｔａｎ∠ＤＡＥ＝ＤＥＡＤ＝ ５ ３ ５＝ １ ３ 　　　　　　　　　　　　　　　　　针对训练 １．（多解法）如图，有一张直角三角形纸片，两 直角边ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，现将直角边ＡＣ沿直 线ＡＤ折叠，使它落在斜边ＡＢ上且与ＡＥ重 合，则ＣＤ等于　３　． 第１题图 　　 第２题图 ２．如图，已知矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＡＤ＝９，将 此矩形折叠，使点 Ｂ与点 Ｄ重合，折痕为 ＥＦ，则△ＢＥＦ的面积为 （　Ｂ　） Ａ．６ Ｂ．７．５ Ｃ．１２ Ｄ．１５ ３．（鲁教八下 Ｐ２９第 １４题改编）如图，矩形 ＡＢＣＤ沿着直线ＢＤ折叠，使点Ｃ落在点Ｃ′ 处，ＢＣ′交 ＡＤ于点