专题17 主从联动模型(瓜豆模型)-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题十七　主从联动模型（瓜豆模型） 类 型 １　直线型轨迹问题 　模型梳理 问题：（１）如图①，点Ａ是直线ｌ外一定点，点Ｐ是直线ｌ上一动点，连接ＡＰ，取ＡＰ的中点Ｑ，当 点Ｐ在直线ｌ上运动时，点Ｑ的轨迹是什么图形？ （２）如图②，点Ａ是直线ｌ外一定点，点Ｐ是直线ｌ上一动点，连接ＡＰ，以ＡＰ为腰作等腰 三角形ＡＰＭ，且∠ＰＡＭ＝α，当点Ｐ在直线ｌ上运动时，点Ｍ的轨迹是什么图形？ 图① 　 图② 　 图③ 　 图④ 思路：（１）定点到定直线的距离相等；（２）定角等比构造全等． 作法：（１）如图③，过点Ａ，Ｑ分别作直线ｌ的垂线ＡＣ，ＱＢ，则ＱＢ∥ＡＣ，且ＱＢ＝１２ＡＣ，∵ＡＣ是定 值，∴ＱＢ是定值，即点Ｑ到直线ｌ的距离始终相等，∴点Ｑ的轨迹是平行于直线ｌ的一条 直线． （２）如图④，当点 Ｐ运动到点 Ｐ′时，以 ＡＰ′为腰作等腰三角形 ＡＰ′Ｍ′，且∠Ｐ′ＡＭ′＝α， ∴∠ＰＡＰ′＝∠ＭＡＭ′，∵ＡＰ＝ＡＭ，ＡＰ′＝ＡＭ′，∴△ＡＰＰ′≌△ＡＭＭ′（ＳＡＳ），∴∠ＡＰＰ′＝ ∠ＡＭＭ′＝１２（１８０°－α），∴∠ＰＭＭ′＝∠ＡＭＰ＋∠ＡＭＭ′＝∠ＡＰＰ′＋∠ＡＭＭ′＝１８０°－α， ∴直线ＭＭ′与直线ｌ的夹角为α，即点Ｍ的轨迹为直线ＭＭ′． 总结：定点Ａ为直线（线段）外一点，主动点 Ｐ为直线上一点，从动点 Ｑ为任意一点，若∠ＰＡＱ 为定角， ＡＱ ＡＰ为定值，则从动点Ｑ的轨迹为一条直线（线段）．如问题（１）中定角为０，定值为 １ ２；问题（２）中定角为α，定值为１． 　例题图 　典例精析 例　如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，∠ＤＣＡ＝３０°，点 Ｆ是对角线 ＡＣ上的 一个动点，连接ＤＦ，以ＤＦ为斜边作∠ＤＦＥ＝３０°的直角三角形ＤＥＦ，使 点Ｅ和点Ａ位于ＤＦ两侧，点Ｆ从点Ａ到点Ｃ的运动过程中，点Ｅ的运 例题解图 动路径长是　　　　． 【思路点拨】点Ｆ从点Ａ到点Ｃ，运动轨迹为线段，∠ＤＦＥ是定值，且 ＤＦ ＤＥ是定值，∴点Ｅ的轨迹也是一条线段，起点为点Ｆ与点Ａ重合时 点Ｅ的位置，终点为点Ｆ与点Ｃ重合时点Ｅ的位置，如解图所示，再 通过解直角三角形求得轨迹ＥＥ′的长． ５５ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 　针对训练 １．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为 ４，Ｅ为ＢＣ上一点，且 ＢＥ＝１，Ｆ为 ＡＢ边上的一个动点，连接 ＥＦ，以ＥＦ为边在正方形ＡＢＣＤ内部作等边△ＥＦＧ，连接ＣＧ，则 ＣＧ的最小值为　　　　． 第１题图 　　　　 第２题图 　　　　 第３题图 ２．（多解法）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝４，点Ｐ是ＢＣ上的动点，连接ＰＡ，将ＰＡ绕点Ｐ 顺时针旋转９０°得到线段ＰＥ，连接ＣＥ．点Ｐ从点Ｂ向点Ｃ运动过程中，ＣＥ的最小值为　槡２　． ３．（２０２２日照１６题３分）如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ａ的坐标为（０，４），Ｐ是ｘ轴上一动 点，把线段ＰＡ绕点Ｐ顺时针旋转６０°得到线段ＰＦ，连接ＯＦ，则线段ＯＦ长的最小值是　　　　． 类 型 ２　圆型轨迹问题 　模型梳理 问题：（１）如图①，点Ａ是⊙Ｏ外一定点，点Ｐ是半径为ｒ的⊙Ｏ上一动点，连接ＡＰ，取ＡＰ的中 点Ｑ，当点Ｐ在⊙Ｏ上运动时，点Ｑ的运动轨迹是什么图形？ （２）如图②，点Ａ是⊙Ｏ外一定点，点Ｐ是半径为ｒ的⊙Ｏ上一动点，连接ＡＰ，点Ｑ是平面 内一点，且∠ＰＡＱ＝α，ＡＱＡＰ＝ｋ，当点Ｐ在⊙Ｏ上运动时，点Ｑ的运动轨迹是什么图形？ 图① 　 图② 　 图③ 　 图④ 思路：（１）定点到定圆上动点的距离比相等；（２）定角等比构造相似． 作法：（１）如图③，连接ＯＡ，取ＯＡ的中点Ｍ，连接ＱＭ，则ＱＭ∥ＰＯ，且ＱＭ＝１２ＰＯ＝ １ ２ｒ，∵点Ａ， 点Ｏ是定点，∴点Ｍ是定点，即为圆心；∵ＱＭＰＯ＝ ＡＭ ＡＯ＝ １ ２，∴ＱＭ为定长，即为⊙Ｍ的半径， ∴点Ｑ的运动轨迹是以Ｍ为圆心，１２ｒ为半径的圆． （２）如图④，连接 ＯＡ，ＯＰ，以 Ｏ为顶点，作∠ＯＡＭ＝α，且ＡＭＡＯ＝ｋ，∵∠ＰＡＱ＝∠ＯＡＭ， ∴∠ＭＡＱ＝∠ＯＡＰ，∵ＡＭＡＯ＝ ＡＱ ＡＰ＝ｋ，∴△ＡＱＭ∽△ＡＰＯ，∴ ＭＱ ＯＰ＝ｋ，为定值，∴ＭＱ＝ｋｒ，∴点 Ｑ的运动轨迹是以Ｍ为圆心，ｋｒ为半径的圆．当α＝０，ｋ＝１２时，即为问题（１）的情况． 总结：１．定点Ａ为⊙Ｏ外一点，主动点 Ｐ为⊙Ｏ上一点，从动点 Ｑ为任意一点，若∠ＰＡＱ为定 ６５ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 角， ＡＱ ＡＰ为定值，则从动点Ｑ的运动轨迹为圆．如问题（１）中，定角为０，定值为 １ ２；问题（２） 中定角为α，定值为ｋ． ２．从动点轨迹的确定方法：连接定点 Ａ与圆心 Ｏ，以定点 Ａ为顶点，ＯＡ为一边作∠ＯＡＭ 等于定角α，且ＡＭＡＯ＝ ＡＱ ＡＰ＝ｋ，则点Ｍ为运动轨迹所在圆的圆心，ｋ乘定圆