专题16 几何中的最值问题-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题十六　几何中的最值问题 类 型 １　将军饮马模型 　典例精析 例１　如图，已知将军每天从军营Ａ出发，先到河边Ｐ处饮马，再去河岸同侧的Ｂ地开会．请在 图中帮将军找到合适的饮马处Ｐ，使路程ＡＰ＋ＰＢ最短（体现作图原理）． 例１题图 　　　　 例１题解图 提取信息：①直线上一动点Ｐ；②直线同侧两定点Ａ，Ｂ； 锁定目标：ＡＰ＋ＰＢ最小； 思维导入： １．应用原理：两点之间线段最短； ２．思维模式：同侧转异侧； ３．解题要点：对称，将点Ａ（或点Ｂ）对称到河岸ｌ异侧 自主作图： ①如解图，作点Ｂ关于河岸ｌ的对称点Ｂ′； ②连接ＡＢ′，交河岸ｌ于点Ｐ，连接ＰＢ． 例２　如图，已知∠ＡＯＢ，点Ｐ为ＯＡ下方一点，点Ｍ、Ｎ分别是射线ＯＡ、ＯＢ上的动点，在图中找 出合适的Ｍ、Ｎ的位置，使得ＰＭ＋ＭＮ最短． 例２题图 　　　　　 例２题解图 提取信息：①点Ｐ为定点；②Ｍ、Ｎ为动点； 锁定目标：ＰＭ＋ＭＮ最短； 思维导入： １．应用原理：垂线段最短； ２．解题要点：对称，将点Ｐ对称到ＯＡ的异侧，使得点Ｐ和点Ｎ位于ＯＡ的两侧． 自主作图： ①作点Ｐ关于ＯＡ的对称点Ｐ′； ②过点Ｐ′作Ｐ′Ｎ⊥ＯＢ于点Ｎ，交ＯＡ于点Ｍ． 思考：例２中的条件不变，当ＰＮ＋ＭＮ最小时，Ｍ、Ｎ的位置又该如何确定？ 答：作点Ｐ关于ＯＢ的对称点Ｐ′，作Ｐ′Ｍ⊥ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点Ｎ，自己试着画图． ８４ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 其他常见模型： 问题描述 图示 作法 原理 点 Ｐ在∠ＡＯＢ的内 部，Ｃ，Ｄ分别是 ＯＡ， ＯＢ上的动点，确定点 Ｃ，Ｄ的位置，使得ＰＤ ＋ＣＤ＋ＰＣ（即△ＰＣＤ 周长）的值最小 分别作点Ｐ关于ＯＡ、ＯＢ的对称点Ｐ′、 Ｐ″，连接Ｐ′Ｐ″，分别交 ＯＡ、ＯＢ于点 Ｃ、 Ｄ，点Ｃ、Ｄ即为所求 两点之间线 段最短 点 Ｐ，Ｑ在∠ＡＯＢ的 内部，Ｃ，Ｄ分别是 ＯＡ，ＯＢ上的动点，确 定点Ｃ，Ｄ的位置，使 得 ＰＱ＋ＱＤ＋ＣＤ＋ ＰＣ（即四边形 ＰＱＤＣ 周长）的值最小 作点Ｐ关于 ＯＡ的对称点 Ｐ′，作点 Ｑ 关于ＯＢ的对称点Ｑ′，连接Ｐ′Ｑ′，分别 交ＯＡ、ＯＢ于点Ｃ、Ｄ，点Ｃ、Ｄ即为所求 两点之间线 段最短 　针对训练 １．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝２，∠Ｃ＝１２０°，Ｑ为 ＡＢ的中点，Ｐ为对角线 ＢＤ上的任意一点， 则ＡＰ＋ＰＱ的最小值为　槡３　． 第１题图 　　　　　　　 第２题图 ２．（２０２３泸州）如图，Ｅ，Ｆ是正方形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ的三等分点，Ｐ是对角线 ＡＣ上的动点，当 ＰＥ＋ＰＦ取得最小值时，ＡＰＰＣ的值为　　　　． ３．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点 Ｅ是 ＡＤ上的一个动点，点 Ｆ是对角线 ＢＤ上的一个动点，连接 ＢＥ，ＥＦ．若ＡＢ＝２，ＡＤ＝４，则ＢＥ＋ＥＦ的最小值是　　　　． 第３题图 ９４ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 ４．（２０２２聊城１２题３分）如图，一次函数 ｙ＝ｘ＋４的图象与 ｘ轴，ｙ轴分别交于点 Ａ，Ｂ，点 Ｃ（－２，０）是ｘ轴上一点，点Ｅ，Ｆ分别为直线ｙ＝ｘ＋４和ｙ轴上的两个动点，当△ＣＥＦ周长 最小时，点Ｅ，Ｆ的坐标分别为 （　Ｃ　） Ａ．Ｅ（－５２， ３ ２），Ｆ（０，２） Ｂ．Ｅ（－２，２），Ｆ（０，２） Ｃ．Ｅ（－５２， ３ ２），Ｆ（０， ２ ３） Ｄ．Ｅ（－２，２），Ｆ（０， ２ ３） 第４题图 　　　　 第５题图 ５．如图，在边长为８的正方形ＡＢＣＤ中，点Ｇ是ＢＣ边的中点，Ｅ、Ｆ分别是ＡＤ和ＣＤ边上的点， 则四边形ＢＥＦＧ周长的最小值为　２４　． 类 型 ２　造桥选址模型 　模型梳理 问题描述 图示 作法 原理 已知直线 ｍ∥ｎ， 在直线 ｍ，ｎ上分 别求点 Ｍ，Ｎ，使 ＭＮ⊥直线 ｍ，且 ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ的 值最小 将点Ａ向下平移 ＭＮ的长度得点 Ａ′，连接 Ａ′Ｂ交直线ｎ于点Ｎ，过点Ｎ作ＭＮ⊥直线 ｍ于点Ｍ 在直线 ｌ上求点 Ｐ，Ｐ′（点 Ｐ在点 Ｐ′左侧），并使ＡＰ ＋ＰＰ′＋Ｐ′Ｂ的值 最小 将点 Ａ向右平移 ＰＰ′的长度得点 Ａ′，作点 Ｂ关于直线ｌ的对称点Ｂ′，连接Ａ′Ｂ′，Ａ′Ｂ′ 与直线ｌ的交点即为点Ｐ′，将点 Ｐ′向左平 移ＰＰ′的长度即为点Ｐ 两点之间线 段最短 　典例精析 例　已知Ａ地和Ｂ地在一条河的两岸（河岸平行），现要在河上建造一座垂直于河岸的桥ＭＮ， 请在图中找到合适的建桥位置，使从 Ａ地到 Ｂ地的路径 ＡＭ＋ＭＮ＋ＮＢ最短（体现作图原 理）． 提取信息：①定点Ａ，Ｂ；②动点Ｍ，Ｎ；③定长ＭＮ； ０５ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 例题图 锁定目标：ＡＭ＋ＭＮ＋ＮＢ的值最小，即ＡＭ＋ＮＢ的值最小； 思维导入： １．应用原理：两点之间线段最短； ２．思维模式：去定求变； ３．解题要点：平移，将点 Ａ沿着垂