专题15 辅助圆与圆中最值模型-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题十五　辅助圆与圆中最值模型 （一）辅助圆模型 类 型 １　定点定长模型 　模型梳理 类型 等距成圆 旋转成圆 折叠成圆 斜边中点 图示 轨迹 情况 点Ａ，Ｂ，Ｃ都在 圆心为点Ｏ，半 径为ｒ的圆上 点Ｂ所在圆的圆心 为点Ａ，半径为 ＡＢ； 点Ｃ所在圆的圆心 为点Ａ，半径为ＡＣ 点 Ｐ在边 ＢＣ上运 动，折叠后点 Ｂ′在 圆心为点Ａ，半径为 ＡＢ的圆上 点Ａ，Ｂ分别是射线ＯＭ，ＯＮ 上的动点，ＯＭ⊥ＯＮ，ＡＢ为 定长，中点Ｃ在圆心为点Ｏ， 半径为 １ ２ＡＢ的圆上 　典例精析 例　如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，点Ｅ是ＡＢ的中点，点Ｆ是ＡＤ上的动点，将矩形ＡＢ ＣＤ沿ＥＦ折叠，使点Ａ落在点Ａ′处，连接ＣＡ′，ＤＡ′，则△ＣＡ′Ｄ面积的最小值为　　　　． 【思路点拨】在折叠过程中Ａ′Ｅ为定值，故点Ａ的轨迹是以点Ｅ为圆心，ＥＡ长为半径的一段 弧．在△ＣＡ′Ｄ中，ＣＤ为定值，故只需点Ａ′到ＣＤ的距离最小即可．如解图，过点Ａ′作ＣＤ的垂 线ＧＨ，则当Ａ′Ｇ最大时，Ａ′Ｈ最小，此时点Ｇ与点Ｅ重合，Ａ′Ｇ为半径． 例题图 　　　 例题解图 　　　 第１题图 　　　 第２题图 　针对训练 １．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＢＣ＝６，点Ｍ，Ｎ分别是ＡＢ，ＢＣ的中点，标记点 Ｎ的位置，将△ＡＢＣ绕点Ｃ逆时针旋转一周，点 Ｍ的对应点为点 Ｍ′，则在旋转过程中，线段 ＮＭ′的最小值是　３　，最大值是　９　． ２．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝８，点Ｅ，Ｆ分别在边ＡＢ，ＡＤ上，且ＥＦ＝６，点Ｍ是ＥＦ的 中点，连接ＣＭ，则ＣＭ的最小值是　７　． 　第３题图 ３．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８，ＢＣ＝６，点Ｐ是平面内一个动点， 且ＡＰ＝３，Ｑ为 ＢＰ的中点，在 Ｐ点运动过程中，线段 ＣＱ长度的最小值 为　　　　． ２４ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 类 型 ２　定弦定角模型 　模型梳理 类型 角为锐角 角为直角 角为钝角 图示 轨迹 情况 以ＡＢ为底边在点Ｐ同侧构 造 顶 角 为 ２α 的 等 腰 △ＯＡＢ，点Ｏ即为点Ｐ所在 圆的圆心，ＯＡ为半径 点Ｐ所在圆的圆心为ＡＢ的 中点Ｏ，半径为１２ＡＢ 以ＡＢ为底边在点Ｐ异侧构 造顶角为（３６０°－２α）的等 腰△ＯＡＢ，点 Ｏ即为点 Ｐ所 在圆的圆心，ＯＡ为半径 通法：作△ＰＡＢ中任意两边的垂直平分线，其交点即为圆心，圆心与任意一个顶点的连 线即为半径 　典例精析 例　如图，Ｄ，Ｅ分别是边长为２的等边三角形ＡＢＣ的两边ＡＢ，ＡＣ上的动点，且ＡＤ＝ＣＥ，ＢＥ与 ＣＤ交于点Ｆ，则点Ａ到点Ｆ的最小值为　　　　． 【思路点拨】点Ａ是定点，点Ｆ是由点Ｄ，点Ｅ变化引起的从动点，要求点Ａ到点Ｆ的最小值， 即要确定点 Ｆ的轨迹．由题易得△ＡＤＣ≌△ＣＥＢ，从而得出∠ＤＦＢ＝６０°是定值，则∠ＢＦＣ＝ １２０°为定值，则由“定弦定角模型”可得点Ｆ的轨迹是一段弧（如解图所示），确定圆心Ｏ，连 接ＯＡ交圆弧于点Ｆ′，则ＡＦ′即为最小值． 例题图 　　　　 例题解图 　　　　 第１题图 　针对训练 １．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，∠Ｃ＝６０°，∠Ａ≥∠Ｂ，则ＢＣ长的取值范围是　　　　　　　． 第２题图 ２．（２０２１铜仁）如图，Ｅ，Ｆ分别是正方形ＡＢＣＤ的边ＡＢ，ＢＣ上的动点，满足ＡＥ＝ ＢＦ，连接ＣＥ，ＤＦ，相交于点Ｇ，连接ＡＧ，若正方形的边长为２，则线段ＡＧ的最 小值为　槡２　． ３．（２０２３达州）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４槡３，∠Ｃ＝６０°，在边 ＢＣ上有一点 Ｐ，且 ＢＰ＝ １ ２ＡＣ，连接ＡＰ，则ＡＰ的最小值为　２槡１３－２　． ３４ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 类 型 ３　四点共圆模型 　模型梳理 类型 对角互补 定线段同侧两角相等 含直角 不含直角 角为直角 角为非直角 图示 轨迹 情况 圆心为 ＡＢ的中点 Ｏ，半径为１２ＡＢ 圆心为任意两邻边 垂直平分线的交点 Ｏ，半径为ＯＡ 圆心为 ＡＢ的中点 Ｏ，半径为１２ＡＢ 圆心为三角形任意两 邻边垂直平分线的交 点Ｏ，半径为ＯＡ 注：四点共圆不能在书写解答或证明过程中直接应用，需通过“定点定长”证明． 　典例精析 例　如图，ＡＢ＝ＡＤ＝６，∠Ａ＝６０°，点Ｃ在∠ＤＡＢ内部，且∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°，则四边形ＡＢＣＤ面积 的最大值为　１２槡３　． 例题图 　　　　　 例题解图 【思路点拨】如解图，连接ＢＤ，由题可知△ＡＢＤ是等边三角形，即面积为定值，故只需△ＢＣＤ 的面积最大即可，由∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°可知Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点共圆，故当点Ｃ为 ) ＢＤ的中点（即点 Ｃ′）时，点Ｃ到ＢＤ的距离最大，即△ＢＣＤ的面积最大． 　针对训练 １．如图，在四边形