专题14 十字模型-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题十四　十字模型 　模型梳理 图示 正方形 矩形 作法 — 过点 Ｇ作 ＧＨ⊥ ＡＢ于点Ｈ 过点Ｈ作ＨＮ⊥ＢＣ于点Ｎ，过点Ｇ作ＧＭ⊥ＡＢ于 点Ｍ 结论 ＤＥ＝ＡＦ， △ＡＤＥ≌△ＢＡＦ ＧＥ＝ＡＦ， △ＧＨＥ≌△ＡＢＦ ＧＥ＝ＨＦ， △ＨＦＮ≌△ＧＥＭ △ＨＦＮ∽△ＧＥＭ， 相似比为矩形邻边长之比 注：菱形对边距离相等，类似于正方形，构造全等；平行四边形对边距离不相等，类似于矩形，构 造相似． 　典例精析 例　如图，点Ｅ，Ｆ，Ｇ分别是正方形 ＡＢＣＤ的边 ＡＤ，ＢＣ，ＡＢ上的点，连接 ＤＧ，ＥＦ，ＧＦ，且 ＥＦ＝ ＤＧ，ＤＥ＝２ＡＧ，∠ＡＤＧ的度数为α，则∠ＥＦＧ的度数为 （　Ｃ　） Ａ．α　　　　　　　　Ｂ．２α　　　　　　　Ｃ．４５°－α　　　　　　Ｄ．４５°＋α 【思路点拨】正方形中有交叉相等，想“十字”模型，作垂直构全等；再结合ＤＥ＝２ＡＧ，得出ＡＧ ＝ＦＣ，即得△ＢＦＧ是等腰直角三角形，最后得出∠ＥＦＧ的值． 例题图 　　　　 例题解图 　针对训练 １．如图，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是矩形ＡＢＣＤ四条边上的点，ＥＦ⊥ＧＨ，ＡＢ＝４，ＢＣ＝６．若ＡＧ＝ＣＨ＝１，则 ＥＦ的长为　　　　　． 第１题图 　　　　 第２题图 ２．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∶ＡＢ＝２∶３，点Ｅ，Ｆ，Ｇ分别在边ＡＢ，ＡＤ，ＢＣ上，连接ＤＥ，ＦＧ 相交于点Ｏ，∠ＤＯＧ＋∠Ｃ＝１８０°，若ＯＦ＝ＯＧ＝３，则ＤＥ＝　　　　． ０４ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 ３．（２０２１青岛１４题改编）如图，已知正方形 ＡＢＣＤ的边长为３，Ｅ为 ＣＤ上一点，连接 ＡＥ并延 长，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，过点Ｄ作ＤＧ⊥ＡＦ，交ＡＦ于点Ｈ，交ＢＦ于点Ｇ，Ｎ为ＥＦ的中点， Ｍ为ＢＤ上一动点，分别连接ＭＣ，ＭＮ．当 Ｓ△ＤＣＧ Ｓ△ＦＣＥ ＝１４时，线段ＤＥ的长为　１　，ＭＮ＋ＭＣ的最 小值为　２槡１０　． 第３题图 ４．（２０２１威海１８题改编）如图，在边长为４的正方形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是边 ＡＢ，ＢＣ上的动 点，且ＢＥ＝ＣＦ，ＣＥ，ＤＦ交于点Ｇ． 图① 　　　　　 图② 第４题图 （１）如图①，当点Ｅ为ＡＢ的中点时． ①连接ＥＤ，点Ｈ为ＥＤ的中点，连接ＧＨ，则ＧＨ＝　槡５　； ②若点Ｃ关于直线ＤＦ的对称点为Ｃ′（翻折），则Ｃ′Ｅ＝　　　　； ③（多解法）连接ＡＧ，则ｔａｎ∠ＡＧＥ＝　　　　； （２）点Ｅ从Ｂ运动到Ａ停止． ①点Ｇ的轨迹长度为　π　； ②如图②，连接ＢＧ，则ＢＧ的最小值为　２槡５－２　                                                ． 学习笔记 １４ 参考答案·山东数学 培 优 册 点Ｇ，∴ＤＧ是△ＡＢＣ的中位线，∴易得△ＡＧＤ是等边三角 形，则∠ＧＤＣ＝１２０°＝∠ＥＤＦ，∠ＤＧＥ＝１２０°＝∠ＤＣＦ，ＤＧ ＝ＡＤ＝ＤＣ＝ＢＧ＝２．∵∠ＧＤＥ＋∠ＥＤＣ＝∠ＥＤＣ＋∠ＣＤＦ， ∴∠ＧＤＥ＝∠ＣＤＦ，∴△ＧＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＳＡ），∴ＧＥ＝ＣＦ． ∵ＢＥ＝１，∴ＧＥ＝１，∴ＣＦ＝１． 图① 　　 图② 第１题解图 解法二：如解图②，过点 Ｄ分别作 ＤＭ⊥ＡＢ于点 Ｍ，ＤＮ⊥ ＢＣ于点Ｎ，连接ＢＤ，∵Ｄ是ＡＣ的中点，△ＡＢＣ是等边三角 形，∴ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，∴ＤＭ＝ＤＮ，∵∠ＡＢＣ＝６０°， ∴∠ＭＤＮ＝１２０°，∴∠ＭＤＥ＋∠ＮＤＥ＝∠ＮＤＥ＋∠ＮＤＦ＝ １２０°，∴∠ＭＤＥ＝∠ＮＤＦ，∵∠ＤＭＥ＝∠ＤＮＦ＝９０°，∴ △ＤＭＥ≌△ＤＮＦ（ＡＳＡ），∴ＭＥ＝ＮＦ，在 Ｒｔ△ＡＤＭ中，ＡＤ＝ ２，∠Ａ＝６０°，∴ＡＭ＝１，同理，ＣＮ＝１，∴ＭＥ＝ＡＢ－ＡＭ－ＢＥ ＝２，∴ＮＦ＝２，∴ＣＦ＝１． ２．Ｂ　３． 槡２ １０ ４．证明：∵∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＦ＝∠ＡＣＦ＋∠ＡＥＤ＝１８０°， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ， 在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中， ＢＣ＝ＤＥ， ∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ， ＡＣ＝ＡＥ { ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＳＡＳ）， ∴ＡＢ＝ＡＤ． 专题十三　半角模型 例　 槡２０２７ 针对训练 １．８３ ２．１２　【解析】解法一：如解图①，∵将△ＡＢＤ沿着 ＡＢ翻折得 到△ＡＢＥ，将△ＡＣＤ沿着 ＡＣ翻折得到△ＡＣＦ，延长 ＥＢ，ＦＣ 交于点Ｇ，∴ＡＥ＝ＡＤ＝ＡＦ，ＢＤ＝ＢＥ＝４，ＤＣ＝ＣＦ＝６，∠ＢＡＤ ＝∠ＢＡＥ，∠ＣＡＤ＝∠ＣＡＦ，∠Ｅ＝∠ＡＤＢ＝９０°，∠Ｆ＝∠ＡＤＣ ＝９０