专题13 半角模型-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题十三　半角模型 　模型梳理 情形 图示 结论 等腰 直角 三角 形中 含半 角 半角 在角内 半角在 角外 旋转△ＡＢＤ构全等 △ＡＤＥ≌△ＡＦＥ； ∠ＥＣＦ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＣＦ２＋ＣＥ２＝ＥＦ２ ＝ＤＥ２ 沿ＡＤ，ＡＥ翻折 ＢＤ＝ＤＦ，ＣＥ＝ＥＦ； ∠ＤＦＥ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＤＦ２＋ＥＦ２＝ＤＥ２ 旋转△ＡＢＤ构全等 △ＡＤＥ≌△ＡＦＥ； ∠ＥＣＦ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＣＦ２＋ＣＥ２＝ＥＦ２ ＝ＤＥ２ 沿ＡＤ，ＡＥ翻折 ＢＤ＝ＤＦ，ＣＥ＝ＥＦ； ∠ＤＦＥ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＤＦ２＋ＥＦ２＝ＤＥ２ 正方 形中 含半 角 半角在 角内 旋转△ＡＤＥ构全等 △ＤＥＦ≌△ＤＭＦ； ＤＣ＝ＤＧ； ＥＦ＝ＭＦ＝ＣＭ＋ＣＦ＝ＡＥ＋ＣＦ 半角在 角外 旋转△ＡＤＥ构全等 △ＤＥＦ≌△ＤＧＦ； ＥＦ＝ＧＦ＝ＣＦ－ＣＧ＝ＣＦ－ＡＥ １２０°角中 含半角 ∠ＢＡＣ＝１２０° ＡＤ旋转１２０°构全等 △ＡＤＥ≌△ＡＦＥ ８３ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 　典例精析 例　如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＡＤ上，若ＣＥ＝５，∠ＥＣＦ＝４５°，则ＣＦ的 长为　　　　． 【思路点拨】直角中含半角，旋转构全等．如解图，将△ＣＤＦ绕点 Ｃ逆时针旋转 ９０°得到 △ＣＢＧ，则ＤＦ＝ＢＧ，结合勾股定理计算出ＢＥ，ＡＥ的长，设未知数进行代换，最后在Ｒｔ△ＡＥＦ 中利用勾股定理求解未知数，在Ｒｔ△ＣＤＦ中可得ＣＦ的长． 例题图 　　　　　 例题解图 　针对训练 １．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝４槡２，Ｄ，Ｅ为 ＢＣ上两点，且∠ＤＡＥ＝４５°，若 ＢＤ＝２，则ＣＥ＝　　　　． 第１题图 　　 第２题图 　　 第３题图 ２．（多解法）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝４５°，ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，若 ＢＤ＝４，ＤＣ＝６，则 ＡＤ的长 为　１２　． ３．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＡＢ＝４，动点 Ｍ，Ｎ分别在 ＡＤ，ＣＤ上（不含端点），若 ∠ＭＢＮ＝６０°，则四边形ＢＭＤＮ周长的最小值是　４槡３＋４　． ４．如图，等边三角形ＡＢＣ的边长为２，△ＢＤＣ是等腰三角形，顶角∠ＢＤＣ＝１２０°．以Ｄ为顶点作 一个６０°的角，角的两边分别交ＡＢ于点Ｍ，交ＡＣ于点Ｎ，连接ＭＮ，求△ＡＭＮ的周长． 第４题图 解：如解图，将△ＢＤＭ绕点Ｄ顺时针旋转１２０°，得到△ＣＤＰ， ∴△ＢＤＭ≌△ＣＤＰ，∴ＭＤ＝ＰＤ，ＣＰ＝ＢＭ，∠ＭＢＤ＝∠ＤＣＰ，∠ＭＤＢ＝∠ＰＤＣ， ∵△ＢＤＣ是等腰三角形，且∠ＢＤＣ＝１２０°， ∴ＢＤ＝ＣＤ，∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ＝３０°， 又∵△ＡＢＣ是等边三角形， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°，∴∠ＭＢＤ＝∠ＡＢＣ＋∠ＤＢＣ＝９０°， 同理可得∠ＮＣＤ＝９０°，∴∠ＰＣＤ＝∠ＮＣＤ＝∠ＭＢＤ＝９０°， ∴∠ＤＣＮ＋∠ＤＣＰ＝１８０°，∴Ｎ，Ｃ，Ｐ三点共线，∵∠ＭＤＮ＝６０°， ∴∠ＭＤＢ＋∠ＮＤＣ＝∠ＰＤＣ＋∠ＮＤＣ＝∠ＢＤＣ－∠ＭＤＮ＝６０°，即∠ＭＤＮ＝∠ＰＤＮ＝６０°， 又∵ＤＮ＝ＤＮ，∴△ＮＭＤ≌△ＮＰＤ（ＳＡＳ），∴ＭＮ＝ＰＮ＝ＮＣ＋ＣＰ＝ＮＣ＋ＢＭ， ∴△ＡＭＮ的周长为ＡＭ＋ＡＮ＋ＭＮ＝ＡＭ＋ＡＮ＋ＮＣ＋ＢＭ＝ＡＢ＋ＡＣ＝２＋２＝４． ９３ 参考答案·山东数学 培 优 册 点Ｇ，∴ＤＧ是△ＡＢＣ的中位线，∴易得△ＡＧＤ是等边三角 形，则∠ＧＤＣ＝１２０°＝∠ＥＤＦ，∠ＤＧＥ＝１２０°＝∠ＤＣＦ，ＤＧ ＝ＡＤ＝ＤＣ＝ＢＧ＝２．∵∠ＧＤＥ＋∠ＥＤＣ＝∠ＥＤＣ＋∠ＣＤＦ， ∴∠ＧＤＥ＝∠ＣＤＦ，∴△ＧＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＳＡ），∴ＧＥ＝ＣＦ． ∵ＢＥ＝１，∴ＧＥ＝１，∴ＣＦ＝１． 图① 　　 图② 第１题解图 解法二：如解图②，过点 Ｄ分别作 ＤＭ⊥ＡＢ于点 Ｍ，ＤＮ⊥ ＢＣ于点Ｎ，连接ＢＤ，∵Ｄ是ＡＣ的中点，△ＡＢＣ是等边三角 形，∴ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，∴ＤＭ＝ＤＮ，∵∠ＡＢＣ＝６０°， ∴∠ＭＤＮ＝１２０°，∴∠ＭＤＥ＋∠ＮＤＥ＝∠ＮＤＥ＋∠ＮＤＦ＝ １２０°，∴∠ＭＤＥ＝∠ＮＤＦ，∵∠ＤＭＥ＝∠ＤＮＦ＝９０°，∴ △ＤＭＥ≌△ＤＮＦ（ＡＳＡ），∴ＭＥ＝ＮＦ，在 Ｒｔ△ＡＤＭ中，ＡＤ＝ ２，∠Ａ＝６０°，∴ＡＭ＝１，同理，ＣＮ＝１，∴ＭＥ＝ＡＢ－ＡＭ－ＢＥ ＝２，∴ＮＦ＝２，∴ＣＦ＝１． ２．Ｂ　３． 槡２ １０ ４．证明：∵∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＦ＝∠ＡＣＦ＋∠ＡＥＤ＝１８０°， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ， 在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中， ＢＣ＝ＤＥ， ∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ， ＡＣ＝ＡＥ { ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＳＡＳ）， ∴ＡＢ＝ＡＤ． 专题十三　半角模型 例　 槡２０２７ 针对训练 １．８３ ２．１２　【解析】解法一：