专题12 对角互补模型-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题十二　对角互补模型 　模型梳理 情形 图示 结论 含直角 一组邻 边相等 （ＡＤ＝ＣＤ） 邻边均 不相等 作垂直构全等 △ＡＥＤ≌△ＣＦＤ 旋转构等腰直角三角形 △ＢＤＧ是等腰直角 三角形，即 ＤＢ＝ ＤＧ，∠ＢＤＧ＝９０° 作垂直构相似 △ＡＥＤ∽△ＣＦＤ 不含 直角 一组邻 边相等 （ＡＤ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＋ ∠ＡＤＣ＝１８０°） 邻边均 不相等 （∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０°） 作垂直构全等 △ＡＥＤ≌△ＣＦＤ 旋转构等腰三角形 △ＢＤＧ是等腰三 角形，即ＤＢ＝ＤＧ 作垂直构相似 △ＡＥＤ∽△ＣＦＤ ６３ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 　典例精析 例　（优质原创）如图①，正方形ＡＢＣＤ的边长为３，Ｏ是对角线ＡＣ上一点，且ＣＯ＝２ＡＯ，Ｅ是边 ＣＤ上一点，连接ＯＥ，过点Ｏ作ＯＦ⊥ＯＥ，交ＢＣ于点Ｆ． （１）四边形ＣＥＯＦ的面积为　４　． 【思路点拨】如解图①，过点Ｏ分别作ＣＤ，ＢＣ的垂线，构造全等三角形，将四边形ＣＥＯＦ的面 积转化为一个以ＯＣ为对角线的正方形面积． 例题图① 　　　 例题解图① 　　　 例题图② 　　　 例题解图② （２）如图②，延长ＯＥ交ＡＤ的延长线于点Ｍ，延长ＯＦ交ＤＣ的延长线于点Ｎ，则ＯＭＯＮ＝　　　． 【思路点拨】如解图②，过点Ｏ分别作ＡＤ，ＤＣ的垂线，构造相似三角形，将所求比值转为相似 三角形的相似比． 　针对训练 １．（多解法）如图，等边三角形ＡＢＣ的边长为４，Ｄ是边ＡＣ的中点，Ｅ在边ＡＢ上，ＢＥ＝１，点Ｆ 在边ＢＣ的延长线上，且∠ＥＤＦ＝１２０°，则ＣＦ的长为　　　　． 第１题图 　　　　　 第２题图 　　　　　 第３题图 ２．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，在Ｒｔ△ＭＰＮ中，∠ＭＰＮ＝９０°，点Ｐ在ＡＣ 上，ＰＭ交ＡＢ于点Ｅ，ＰＮ交ＢＣ于点Ｆ，当ＰＥ＝２ＰＦ时，ＡＰ的长为 （　Ｂ　） Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．２４５ Ｄ． ２５ ６ ３．如图，正方形ＡＢＣＤ的对角线交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＢＣ上（ＡＥ＜ＢＥ），且∠ＥＯＦ＝９０°， ＯＥ，ＤＡ的延长线交于点Ｍ，ＯＦ，ＡＢ的延长线交于点Ｎ，连接ＭＮ．若正方形ＡＢＣＤ的边长为 ４，Ｅ为ＯＭ的中点，则ＭＮ的长为　２槡１０　． ４．（２０２３大连）如图，在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，延长ＢＣ交ＤＥ于点Ｆ，ＢＣ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＡＥ，∠ＡＣＦ＋ ∠ＡＥＤ＝１８０°．求证：ＡＢ＝ＡＤ． 第４题图 证明：∵∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＦ＝∠ＡＣＦ＋∠ＡＥＤ＝１８０°， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ， 在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中， ＢＣ＝ＤＥ， ∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ， ＡＣ＝ＡＥ { ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＳＡＳ），∴ＡＢ＝ＡＤ． ７３ 参考答案·山东数学 培 优 册 ∴△ＡＢＥ≌△ＦＢＥ（ＳＡＳ），∴∠Ａ＝∠５． ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°，∴∠５＋∠Ｄ＝１８０°， ∵∠５＋∠６＝１８０°，∴∠６＝∠Ｄ， 在△ＣＦＥ和△ＣＤＥ中， ∠６＝∠Ｄ， ∠３＝∠４， ＣＥ＝ＣＥ { ， ∴△ＣＦＥ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ），∴ＣＦ＝ＣＤ． ∵ＢＣ＝ＢＦ＋ＣＦ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． 解法二（补短）：解题思路：延长ＢＡ至点Ｆ使 ＢＦ＝ＢＣ，可 证△ＢＥＦ≌△ＢＥＣ，得ＥＦ＝ＥＣ，∠Ｆ＝∠ＥＣＢ，结合∠ＥＣＢ＝ ∠ＥＣＤ，可得∠Ｆ＝∠ＥＣＤ，根据 ＡＢ∥ＣＤ可推出∠ＥＡＦ＝ ∠Ｄ，进而可证得△ＥＡＦ≌△ＥＤＣ，推出 ＣＤ＝ＡＦ，则可得出 ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． 类型２　用“三线合一”或“作平行线”构“等腰” 例１　４　例２　 ５２ 针对训练 １．４０ ２．５３　【解析】解法一：如解图①，延长 ＦＥ交 ＡＢ于点 Ｄ，设 ＡＤ＝ｘ，ＣＦ＝ｙ，∵ＡＥ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＥ，∵ＦＤ ∥ＡＣ，∴∠ＡＥＤ＝∠ＣＡＥ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＤ，∴ＤＥ＝ＡＤ＝ ｘ，同理得ＥＦ＝ＣＦ＝ｙ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得 ＡＣ＝ ５，∵ＤＦ∥ＡＣ，∴△ＢＤＦ∽△ＢＡＣ，∴ＢＤＢＡ＝ ＢＦ ＢＣ＝ ＤＦ ＡＣ，即 ３－ｘ ３ ＝４－ｙ４ ＝ ｘ＋ｙ ５ ，解得ｙ＝ ５ ３，∴ＥＦ＝ ５ ３． 图① 　　 图② 第２题解图 解法二：如解图②，过点Ｅ分别作△ＡＢＣ三边的垂线，垂足 分别为Ｍ，Ｎ，Ｐ，∵∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ的平分线相交于点 Ｅ，∴ ＥＭ＝ＥＮ＝ＥＰ，∴四边形 ＥＮＢＰ是正方形．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， 由勾股定理得ＡＣ＝５．设 ＢＮ＝ＢＰ＝ｘ，则 ＡＰ＝ＡＭ＝３－ｘ， ＣＮ＝ＣＭ＝４－ｘ，∴ＡＭ＋ＣＭ＝３－ｘ＋４－ｘ＝５，解得 ｘ＝１， ∴ＥＮ＝ＢＮ＝１．又∵ＥＦ∥ＡＣ，∴∠ＥＦＮ＝∠ＡＣＢ，又∵ ∠ＥＮＦ＝∠ＡＢＣ＝９０°，∴△ＥＦＮ∽△ＡＣＢ，∴ＥＦＡＣ＝ ＥＮ ＡＢ，即 ＥＦ ５ ＝１３，解得ＥＦ＝ ５ ３． 专题十