专题11 一线三等角模型-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题十一　一线三等角模型 类 型 １　一线三等角———全等 　模型梳理 基本图形 条件 ∠１＝∠２＝∠３，ＣＥ＝ＡＢ 证明思路 利用等角的补角相等转化找等角 ∵∠１＋∠Ｂ＋∠ＢＣＡ＝１８０°，∠ＢＣＡ＋∠２＋∠ＤＣＥ＝１８０°，∠１＝∠２，∠ＢＣＡ＝ ∠ＢＣＡ，∴∠Ｂ＝∠ＤＣＥ，∴△ＡＢＣ≌△ＥＣＤ（ＡＳＡ） 总结 ∠１＝∠２＝∠３＝α（０°＜α＜１８０°）＋任一边相等→△ＡＢＣ≌△ＥＣＤ 变形 　　　　 　典例精析 例　（多解法）如图，ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＥ是四根长度均为５ｃｍ的木棒，点 Ａ，Ｃ，Ｅ共线．若 ＡＣ＝ ６ｃｍ，ＣＤ⊥ＢＣ，则线段ＣＥ的长度是 （　Ｄ　） Ａ．６ｃｍ Ｂ．７ｃｍ Ｃ．６槡２ｃｍ Ｄ．８ｃｍ 例题图 　　　　 图① 　　 图② 例题解图 【思路点拨】解法一：如解图①，分别过点 Ｂ，Ｄ作 ＡＥ的垂线，构造一线三垂直，易证△ＢＣＭ ≌△ＣＤＮ； 解法二：旋转法．如解图②，将△ＡＢＣ绕点Ｃ顺时针旋转９０°，构造直角三角形，利用勾股定理 即可求出ＣＥ． 　针对训练 １．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＣ⊥ＤＣ．过点 Ｂ作 ＢＥ⊥ＣＡ，垂足为点 Ｅ．若 ＣＤ＝２，ＣＥ＝６，则四边形ＡＢＣＤ的面积是　４０　． 第１题图 ４３ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 ２．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝４５°，Ｄ为△ＡＢＣ外一点，满足∠ＣＢＤ＝９０°，ＢＣ＝ＢＤ．若Ｓ△ＡＣＤ＝ ４．５，则 ＡＣ的长为　３　． 第２题图 　　　　 第３题图 ３．如图，在等边△ＡＢＣ中，ＣＨ⊥ＡＢ于点 Ｈ，点 Ｄ，Ｅ分别在边 ＡＢ，ＢＣ上，连接 ＤＥ，点 Ｆ在 ＣＨ 上，连接ＥＦ，若ＤＥ＝ＥＦ，∠ＤＥＦ＝６０°，ＢＥ＝２，ＣＥ＝８，则ＤＨ＝　１　． 类 型 ２　一线三等角———相似 　模型梳理 基本图形 条件 ∠１＝∠２＝∠３ 证明思路 利用等角的补角相等转化找等角 总结 ∠１＝∠２＝∠３＝α（０°＜α＜１８０°）→△ＡＢＤ∽△ＤＣＥ 变形 　　 　典例精析 例题图 例　在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在边ＡＢ上，点Ｆ在边ＢＣ上，且∠ＥＦＤ＝ ∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝２，ＢＣ＝４，ＢＦ∶ＦＣ＝１∶３，则ＡＥ＝　　　　． 【思路点拨】当∠Ｂ＝９０°时，则存在一线三直角，利用相似列比例式求解． 　针对训练 １．如图，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为边 ＢＣ上的一点，Ｆ为边 ＡＢ上的一点．若∠ＤＥＦ＝∠Ｂ，ＡＢ＝１０， ＢＥ＝６，则ＥＦＤＥ的值为　　　　． 第１题图 　　　　　　 第２题图 ２．（多解法）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，点Ｅ在对角线ＡＣ上，连接ＢＥ，作ＥＦ⊥ＢＥ， 垂足为Ｅ，且交边ＤＣ于点Ｆ，则ＥＦＢＥ＝　　　　． ５３ 参考答案·山东数学 培 优 册 ∴△ＡＢＥ≌△ＦＢＥ（ＳＡＳ），∴∠Ａ＝∠５． ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°，∴∠５＋∠Ｄ＝１８０°， ∵∠５＋∠６＝１８０°，∴∠６＝∠Ｄ， 在△ＣＦＥ和△ＣＤＥ中， ∠６＝∠Ｄ， ∠３＝∠４， ＣＥ＝ＣＥ { ， ∴△ＣＦＥ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ），∴ＣＦ＝ＣＤ． ∵ＢＣ＝ＢＦ＋ＣＦ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． 解法二（补短）：解题思路：延长ＢＡ至点Ｆ使 ＢＦ＝ＢＣ，可 证△ＢＥＦ≌△ＢＥＣ，得ＥＦ＝ＥＣ，∠Ｆ＝∠ＥＣＢ，结合∠ＥＣＢ＝ ∠ＥＣＤ，可得∠Ｆ＝∠ＥＣＤ，根据 ＡＢ∥ＣＤ可推出∠ＥＡＦ＝ ∠Ｄ，进而可证得△ＥＡＦ≌△ＥＤＣ，推出 ＣＤ＝ＡＦ，则可得出 ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． 类型２　用“三线合一”或“作平行线”构“等腰” 例１　４　例２　 ５２ 针对训练 １．４０ ２．５３　【解析】解法一：如解图①，延长 ＦＥ交 ＡＢ于点 Ｄ，设 ＡＤ＝ｘ，ＣＦ＝ｙ，∵ＡＥ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＥ，∵ＦＤ ∥ＡＣ，∴∠ＡＥＤ＝∠ＣＡＥ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＤ，∴ＤＥ＝ＡＤ＝ ｘ，同理得ＥＦ＝ＣＦ＝ｙ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得 ＡＣ＝ ５，∵ＤＦ∥ＡＣ，∴△ＢＤＦ∽△ＢＡＣ，∴ＢＤＢＡ＝ ＢＦ ＢＣ＝ ＤＦ ＡＣ，即 ３－ｘ ３ ＝４－ｙ４ ＝ ｘ＋ｙ ５ ，解得ｙ＝ ５ ３，∴ＥＦ＝ ５ ３． 图① 　　 图② 第２题解图 解法二：如解图②，过点Ｅ分别作△ＡＢＣ三边的垂线，垂足 分别为Ｍ，Ｎ，Ｐ，∵∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ的平分线相交于点 Ｅ，∴ ＥＭ＝ＥＮ＝ＥＰ，∴四边形 ＥＮＢＰ是正方形．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， 由勾股定理得ＡＣ＝５．设 ＢＮ＝ＢＰ＝ｘ，则 ＡＰ＝ＡＭ＝３－ｘ， ＣＮ＝ＣＭ＝４－ｘ，∴ＡＭ＋ＣＭ＝３－ｘ＋４－ｘ＝５，解得 ｘ＝１， ∴ＥＮ＝ＢＮ＝１．又∵ＥＦ∥ＡＣ，∴∠ＥＦＮ＝∠ＡＣＢ，又∵ ∠ＥＮＦ＝∠ＡＢＣ＝９０°，∴△ＥＦＮ∽△ＡＣＢ，∴ＥＦＡＣ＝ ＥＮ ＡＢ，即 ＥＦ ５ ＝１３，解得ＥＦ＝