专题09 角平分线模型-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题九　角平分线模型 类 型 １　作“垂线”或“截取等长线段”构“全等” 　模型解读 已知 作法 结论 总结 情况一 Ｐ是∠ＭＯＮ平分线上的 一点，ＰＡ⊥ＯＭ于点Ａ 过点 Ｐ作 ＰＢ⊥ＯＮ于 点Ｂ ＡＰ＝ＢＰ， Ｒｔ△ＡＯＰ≌ Ｒｔ△ＢＯＰ 已知角平分线上一点 与角一边的垂线，作 角另一边的垂线，得 全等 情况二 Ｐ是∠ＭＯＮ平分线上的 一点，Ａ是射线ＯＭ上任 意一点 在ＯＮ上截取 ＯＢ＝ＯＡ， 连接ＰＢ △ＡＯＰ≌ △ＢＯＰ 已知角平分线上一点 与角的一边上任意一 点的连线，在角的另 一边截取等长线段， 得全等 　典例精析 例　在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ． （１）如图①，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，若∠Ｂ＝３０°，∠Ｃ＝４５°，ＤＥ＝１，则ＢＣ＝　２＋槡２　； 【思路点拨】有角平分线和一边垂直，作另一边垂线构造直角三角形．如解图①，作 ＤＦ⊥ＡＣ 于点Ｆ，则ＤＦ＝ＤＥ，再在Ｒｔ△ＢＤＥ和Ｒｔ△ＣＤＦ中解直角三角形求解． 例题图① 　 例题解图① 　 例题图② 　 例题解图② （２）如图②，若∠Ｃ＝２∠Ｂ，ＡＢ＝５，ＡＣ＝３，则ＣＤ＝　２　． 【思路点拨】有角平分线和一边长，截取等长构造全等进行转换．如解图②，在ＡＢ上截取ＡＥ ＝ＡＣ，连接ＤＥ，则△ＡＤＥ≌△ＡＤＣ，再结合角度关系可得ＢＥ＝ＤＥ＝ＣＤ．（拓展方法：补短．延 长ＡＣ至点Ｅ，使得ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ，则△ＡＤＥ≌△ＡＤＢ） 　针对训练 第１题图 １．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线， 设△ＡＢＤ和△ＢＤＣ的面积分别是Ｓ１，Ｓ２，则Ｓ１∶Ｓ２的值为 （　Ｂ　） Ａ．５∶２ Ｂ．２∶５ Ｃ．１∶２ Ｄ．１∶５ ９２ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 ２．（多解法）如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＢＥ平分∠ＡＢＣ，ＣＥ平分∠ＢＣＤ，若点Ｅ在ＡＤ上． 求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． 第２题图 证明：解法一（截长）：如解图，在ＢＣ上取点Ｆ，使ＢＦ＝ＢＡ，连接ＥＦ． 在△ＡＢＥ和△ＦＢＥ中， ＡＢ＝ＦＢ， ∠１＝∠２， ＢＥ＝ＢＥ { ， ∴△ＡＢＥ≌△ＦＢＥ（ＳＡＳ）， ∴∠Ａ＝∠５． ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°，∴∠５＋∠Ｄ＝１８０°，∵∠５＋∠６＝１８０°，∴∠６＝∠Ｄ， 在△ＣＦＥ和△ＣＤＥ中， ∠６＝∠Ｄ， ∠３＝∠４， ＣＥ＝ＣＥ { ， ∴△ＣＦＥ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ），∴ＣＦ＝ＣＤ． ∵ＢＣ＝ＢＦ＋ＣＦ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． 更多解法详见本书Ｐ９８． 类 型 ２　用“三线合一”或“作平行线”构“等腰” 　模型解读 已知 作法 结论 总结 情况一 Ｐ是∠ＭＯＮ平分线上的 一点，ＡＰ⊥ＯＰ于点Ｐ 延长ＡＰ，交ＯＮ于点Ｂ △ＡＯＢ是等腰 三 角 形， △ＡＯＰ ≌△ＢＯＰ 已知边上一点垂直角 平分线，延长得等腰 情况二 Ｐ是∠ＭＯＮ平分线上的 一点 过点 Ｐ作 ＰＱ∥ＯＮ交 ＭＯ于点Ｑ △ＯＰＱ为等 腰三角形 已知边或角平分线上 一点，作另一边的平 行得等腰 ＯＰ是 ∠ＭＯＮ的平分 线，点Ａ是ＯＭ上一点 过点 Ａ作 ＡＢ∥ＰＯ交 ＮＯ的延长线于点Ｂ △ＡＯＢ为等 腰三角形 已知边上一点，作角 平分线的平行线，得 等腰 ０３ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 　典例精析 例１　如图，点Ｄ在△ＡＢＣ内部，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，且ＡＤ⊥ＢＤ，连接ＣＤ．若△ＢＣＤ的面积为２，则 △ＡＢＣ的面积为　４　． 【思路点拨】如解图，延长ＡＤ交ＢＣ于点Ｅ，易证得△ＡＤＢ≌△ＥＤＢ，可得ＡＤ＝ＥＤ，△ＡＢＤ和 △ＢＤＥ面积相等，可推出△ＡＤＣ和△ＤＥＣ是等底同高的三角形，面积相等，所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＢＣＤ． 例１题图 　　　　　 例１题解图 例２　如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ．若ＡＢ＝４，ＡＣＣＤ＝ ８ ５，则ＢＤ＝　　　　． 例２题图 　　　　　 例２题解图 【思路点拨】有角平分线和比例关系，可作平行线构造相似三角形和等腰三角形解答．如解 图，过点Ｃ作ＣＥ∥ＡＤ交ＢＡ的延长线于点Ｅ，结合角平分线可得△ＡＣＥ是等腰三角形，即ＡＥ ＝ＡＣ，再结合相似得出ＡＢ与ＢＤ的比例关系，从而得出ＢＤ的长． 　针对训练 １．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ为△ＡＢＣ外一点，且∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ，连接ＢＤ，Ｅ为ＢＤ 的中点，若∠ＡＢＣ＝５０°，则∠ＡＣＥ＝　４０　°． 第１题图 ２．（多解法）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ的平分线相交于点 Ｅ，过点Ｅ作ＥＦ∥ＡＣ交ＢＣ于点Ｆ，则ＥＦ＝　　　　． 第２题图 １３ 参考答案·山东数学 培 优 册 综上所述，点Ｐ的坐标为（２，０）或（１２，０）． ２．解：（１）ｙ＝－ｘ２＋７２ｘ＋