专题08 中点模型-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题八　中点模型 类 型 １　构造中位线 　模型梳理 情形１：三角形边上遇中点，一点作平行（图①）、两点连接（图②）构造中位线． 图示（Ｄ是ＢＣ边的中点）： 图① 　　 图② 结论：ＤＥ＝１２ＡＢ（图①），ＤＥ∥ＡＢ（图②）． 情形２：有中点连线，倍长或作平行构造中位线． 图示（Ｄ是ＢＣ边的中点）： 结论：ＣＥ＝２ＡＤ，且ＣＥ∥ＡＤ． 　典例精析 例　（多解法）如图，正方形ＡＢＣＤ和正方形ＥＦＣＧ的边长分别为３和１，点Ｆ，Ｇ分别在边ＢＣ， ＣＤ上，Ｐ为ＡＥ的中点，连接ＰＧ，则ＰＧ的长为　槡５　． 例题图 　　 图① 　　 图② 例题解图 【思路点拨】解法一：有中点，构造中位线确定直角边．如解图①，延长ＧＥ交ＡＢ于点Ｏ，过点 Ｐ作ＰＨ⊥ＯＥ于点Ｈ，则ＰＨ是△ＯＡＥ的中位线，求得ＰＨ的长和ＨＧ的长，在Ｒｔ△ＰＧＨ中利 用勾股定理求解． 解法二：有中点，倍长中线构全等确定直角边．如解图②，延长ＧＰ至点Ｑ，使得ＰＱ＝ＰＧ，连接 ＡＱ，则可证得△ＡＰＱ≌△ＥＰＧ，求得ＤＱ和ＤＧ的长，在Ｒｔ△ＱＧＤ中利用勾股定理求解． 　针对训练 第１题图 １．（２０２２安顺）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝２槡２，∠ＡＣＢ＝１２０°，Ｄ是边 ＡＢ的中点，Ｅ是边ＢＣ上一点，若ＤＥ平分△ＡＢＣ的周长，则ＤＥ的 长为 （　Ｃ　） Ａ．槡５２　　　　　　　　　Ｂ． 槡２＋１ ２ 　　　　　　　　　Ｃ．槡２　　　　　　　　　Ｄ．槡３ ５２ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 ２．（多解法·２０２３烟台２３题改编）如图，点Ｃ为线段ＡＢ上一点，分别以ＡＣ，ＢＣ为等腰三角形 的底边，在ＡＢ的同侧作等腰△ＡＣＤ和等腰△ＢＣＥ，且∠Ａ＝∠ＣＢＥ．在线段ＥＣ上取一点Ｆ， 使ＥＦ＝ＡＤ，连接 ＢＦ，ＤＥ，ＢＦ的延长线恰好经过 ＤＥ的中点 Ｇ．若 ＡＤ＝２，则 ＢＥ的长 为　２＋２槡２　． 第２题图 类 型 ２　构造直角三角形斜边中线 　模型梳理 条件：直角三角形斜边上遇中点，连接直角顶点与斜边中点构造斜边中线． 图示（Ｄ是ＢＣ边的中点）： 结论：ＡＤ是Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边中线，即ＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤ． 　典例精析 例　如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｍ，Ｎ分别是 ＡＢ，ＡＣ的中点，延长 ＢＣ至点 Ｄ，使 ＣＤ＝ １ ３ＢＤ，连接ＤＭ，ＤＮ，ＭＮ．若ＡＢ＝６，则ＤＮ的长为　３　． 例题图 　　　　　 例题解图 【思路点拨】由题意得ＭＮ∥ＣＢ，ＭＮ＝１２ＣＢ，结合ＣＤ＝ １ ３ＢＤ，得到ＭＮ＝ＣＤ，那么连接ＣＭ可 将求ＤＮ转化为求ＣＭ，而ＣＭ恰是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边ＡＢ上的中线． 　针对训练 １．如图，将两个含３０°角的直角三角板摆放在一起，Ｅ为ＡＢ的中点，连接ＤＥ．若ＡＣ＝２，则ＤＥ 的长为　槡７　． 第１题图 　　　　　　 第２题图 ２．如图，已知∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°，∠ＤＡＢ＝４５°，Ｍ，Ｎ分别是 ＡＣ，ＢＤ的中点．若 ＡＣ＝１０，则 ＭＮ＝　　　　． ６２ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 类 型 ３　巧用“三线合一” 　模型梳理 情形１：等腰三角形底边上遇中点，连接顶点与中点，巧用“三线合一”． 图示（Ｄ是ＢＣ边的中点）：如图①． 结论：ＢＤ＝ＣＤ，ＡＤ⊥ＢＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ． 图① 　　 图② 情形２：垂线过中点，连接构等腰． 图示（Ｄ是ＢＣ边的中点）：如图②． 结论：△ＢＥＣ是等腰三角形，即ＢＥ＝ＣＥ． 　典例精析 例　如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，点 Ｍ为 ＢＣ的中点，ＭＮ⊥ＡＣ于点 Ｎ，则 ＭＮ的长 为　２．４　． 例题图 　　　　 例题解图 【思路点拨】有等腰三角形及底边上的中点，即连接  ＡＭ，如解图，可得 ＡＭ⊥ＢＣ，在 Ｒｔ△ＡＭＣ 中利用等面积法即可求出ＭＮ． 　针对训练 １．（优质原创）如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝４５°，点Ｅ是边ＢＣ的中点，过点Ｅ作ＥＦ⊥ ＢＣ交ＡＢ于点Ｆ．若ＡＦ＝１，ＥＦ＝槡２，则对角线ＡＣ＝　槡５　． 第１题图 　　　　 第２题图 ２．（优质原创）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°，点Ｄ是ＢＣ的中点，点Ｅ是ＡＢ的四等 分点，且靠近点Ａ，若Ｓ△ＢＤＥ＝ ３槡３ ８，则ＢＣ的长为　２槡３　． ７２ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 类 型 ４　 倍长（类）中线 　模型梳理 条件：遇见三角形中线或类中线，倍长中线（图①）或类中线（图②）构全等． 图示（Ｄ是ＢＣ边的中点）： 图① 　　 图② 结论：图①：△ＢＤＥ≌△ＣＤＡ；图②：△ＢＤＦ≌△ＣＤＥ． 　典例精析 例　如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ边上的中线，Ｅ是ＡＤ上一点，且ＢＥ＝ＡＣ，延长ＢＥ交ＡＣ于点 Ｆ．若ＥＦ＝２，则ＡＦ的长为　２　． 例题图 　　　　　　　 例题解图 【思路