专题07 函数中的相似三角形存在性问题-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题七　函数中的相似三角形存在性问题 例题图 　典例精析 例　如图，抛物线ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３与ｘ轴交于点Ａ（３，０），Ｂ（－１，０），与ｙ轴 交于点Ｃ（０，３），连接ＡＣ，ＢＣ，点Ｐ为ＡＣ上一点，是否存在这样的点 Ｐ，使以 Ａ，Ｏ，Ｐ为顶点的三角形与△ＡＢＣ相似？若存在，求点Ｐ的坐标；若不存在，请 说明理由                                                        ． 【必备能力】相似三角形存在性问题解题思路 思维方式：相似三角形的判定定理：①三边成比例的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似；③两角分别相等的两个三角形相似． 坐标系中，在其中一个三角形顶点位置不确定的情况下，判断两三角形三边成比例是比较困 难的，从而①很少用到；对比②、③可以发现，均有角相等这一条件．从而此类问题的突破口 獉獉獉 为 先找到一组等角，再通过②、③找到两种解题思路：思路一：分类讨论两相等角的两边对应成 比例；思路二：分类讨论另一组角相等． 解题要点： 思路一：通过两相等角的两边对应成比例，将问题转化为线段比相等问题．设出点的坐标（含 参数），表示出等角的两边长，通过等角的两边长分别对应成比例（两种情况）列方程求解； 思路二：通过找另一组角相等，将问题转化为等角存在性问题．分情况讨论两角相等时，可通 过设点求正切值法（见专题六函数中的角度问题）求解，设出点的坐标（含参数），分别表示出 两等角的正切值，通过等角的正切值相等列方程求解；特别地，若两等角为同位角或内错角 时，两三角形有一组边为平行关系，通过平行直线的“ｋ”值相等，求出直线表达式，通过联立方 程求解法求解． 【自主作答】 ３２ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 　针对训练 １．如图，在平面直角坐标系中，一次函数ｙ＝－１２ｘ＋ｂ的图象分别交ｘ轴，ｙ轴于Ｃ，Ｄ两点，并 与反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象在第一象限内交于Ａ，Ｂ（６，１）两点． （１）求ｋ和ｂ的值； （２）在ｘ轴上是否存在一点 Ｐ，使△ＡＣＰ与△ＣＤＯ相似，若存在，求出点 Ｐ的坐标．若不存 在，请说明理由． 第１题图 ２．如图，二次函数ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点 Ａ（４，０），Ｂ（０，２），点 Ｐ是线段 ＯＡ上一个动 点，过点Ｐ作垂直于ｘ轴的直线分别交抛物线和直线 ＡＢ于点 Ｅ和点 Ｆ．设点 Ｐ的横坐标 为ｍ． （１）求二次函数的表达式； （２）若以Ｂ，Ｅ，Ｆ为顶点的三角形与△ＦＰＡ相似，求ｍ的值． 第２题图 ４２ 设0G=a,,C(0,-4).∴.0C=4,∴.CG=4-a=BG. A(3.0).B(-1,0).C(03). 在RL△B0G中，BG=0G+0B,(4-a)2=a2+2 ∴直线BC的解析式为y=3x+3,直线AC的解析式为y= 解得a=子G0,-子。 -x+3, ∴直线OP的解析式为y=3x, 设BP所在直线的表达式为y=x+b(k≠0)，将B(-2, 与直线AC解析式y=-x+3联立， 「k= 3 0),G(0,- )代人得：0+6=-之·服移 4 3 得=-x+3 「x= 4 解得 .P( 39 (k·(-2)+6=0, b=- , ly=3x, 9 44 六直线即的表达式为y=-3:-3 4t、 (2)由(1)知当∠0CB=2∠BC0时，0G= 2,n∠0cB= 24 3=3:∠PBA=2∠BC0,mLPB1=3 2 图① 图2 设P代m,-m-4), 例题解图 则tan∠PBA= 4 ②如解图②，当△AP0一△ABC时，=49 m-（-2)—=3 六AP=4B,A0_4x3 =22 解得m=号或m=-2(合)心点P的坐标为（手一智： 40 册 过点P作PH⊥x轴于点H,则∠AHP=90°， (3)∠C,OA-∠C,FA=45°，且∠C,OA-∠C,FA= 易得0A=0C,∠0AC=45°， ∠OC,F, ∴.∠0C,F=45°. l=m=An50-2ax号-2. 如解图，过点O作OH⊥C,F于点H,HM⊥x轴于点M,C,N 六0M=0A-AH=3-2=1,P(1,2) ⊥MH交MH的延长线于点N,则△HOC,为等腰直角三角 形，∠C,0H=45, 综上所述，存在点卫，其坐标为子，子)或1,2). 针对训练 1.解：(1)k=6,b=4: (2)由(1)知一次函数的解析式为y=一之+4，反比例函 数的