专题05 函数中几何图形的存在性问题-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题五　函数中几何图形的存在性问题 类 型 １　平行四边形存在性问题 　典例精析 考法１　三定一动 例１　已知Ａ（１，２），Ｂ（５，３），Ｃ（３，５），点Ｄ是 平面内一点，若以 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为顶点的四边形 是平行四边形，求出点Ｄ的坐标． １．确定点的位置（请根据题设补全图形          ） 【必备能力】“三平行”定点法 分别过点 Ａ，Ｂ，Ｃ，作 ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ的平行 线，这三条线的交点即为点Ｄ． 例１题图 解：点Ｄ位置如解图． 考法２　两定两动 例２　已知 Ａ（１，１），Ｂ（３，２），点 Ｃ在 ｘ轴上， 点Ｄ在ｙ轴上，若以 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为顶点的四边 形是平行四边形，求出点Ｃ，点Ｄ的坐标． １．确定点的位置（请根据题设补全图形            ） 【必备能力】 分类讨论：①ＡＢ为边时，平移 ＡＢ确定 ＣＤ；②ＡＢ为对角线时，旋转过 ＡＢ中点的 直线确定ＣＤ． 例２题图 解：点Ｃ，Ｄ位置如解图                             ． ２．                                                              计算点的坐标 【必备能力】平行四边形的性质转化为点坐标的关系 思维方式：平行四边形性质：①对边平行且相等；②对角线互相平分． 解题要点： 思路一：如图①，对边平行且相等可转化为： ｘＡ－ｘＢ＝ｘＤ－ｘＣ， ｙＡ－ｙＢ＝ｙＤ－ｙ{ Ｃ → ｘＡ＋ｘＣ＝ｘＢ＋ｘＤ， ｙＡ＋ｙＣ＝ｙＢ＋ｙＤ{ ； 图① 　　 图② 思路二：如图②，对角线互相平分可转化为： ｘＡ＋ｘＣ ２ ＝ ｘＢ＋ｘＤ ２ ｙＡ＋ｙＣ ２ ＝ ｙＢ＋ｙＤ      ２ → ｘＡ＋ｘＣ＝ｘＢ＋ｘＤ， ｙＡ＋ｙＣ＝ｙＢ＋ｙＤ{ ． 总结：可以看出两者的结论是统一的： ｘＡ＋ｘＣ＝ｘＢ＋ｘＤ， ｙＡ＋ｙＣ＝ｙＢ＋ｙＤ{ ． 当ＡＣ和ＢＤ为对角线时，结果可简记为：Ａ · ＋Ｃ · ＝Ｂ · ＋Ｄ · （对称点的横纵坐标相加值相等）． ０１ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 【自主作答】 考法１　三定—动 解：设点Ｄ的坐标为（ｍ，ｎ）， ∵Ａ（１，２），Ｂ（５，３），Ｃ（３，５）． 直接应用以上结论，可得： ①当ＢＣ为对角线时， ５＋３＝１＋ｍ， ３＋５＝２＋ｎ{ ，解得 ｍ＝７，ｎ＝６{ ， 故Ｄ１（７，６）； ②当ＡＣ为对角线时， １＋３＝５＋ｍ， ２＋５＝３＋ｎ{ ，解得 ｍ＝－１，ｎ＝４{ ， 故Ｄ２（－１，４）； ③当ＡＢ为对角线时， １＋５＝３＋ｍ， ２＋３＝５＋ｎ{ ，解得 ｍ＝３，ｎ＝０{ ， 故Ｄ３（３，０）． 考法２　两定两动 解：设点Ｃ的坐标为（ｍ，０），点 Ｄ的坐标为（０，ｎ）， ∵Ａ（１，１），Ｂ（３，２）． 直接应用以上结论，可得： ①当ＡＢ为边，且点Ｃ在点Ａ右侧（即ＡＣ为对角线） 时， １＋ｍ＝３＋０， １＋０＝２＋ｎ{ ，解得 ｍ＝２，ｎ＝－１{ ， 故Ｃ１（２，０），Ｄ１（０，－１）； ②当ＡＢ为边，且点Ｃ在点Ａ左侧（即ＡＤ为对角线） 时， １＋０＝３＋ｍ， １＋ｎ＝２＋０{ ，解得 ｍ＝－２，ｎ＝１{ ， 故Ｃ２（－２，０），Ｄ２（０，１）； ③当ＡＢ为对角线时， １＋３＝ｍ＋０， １＋２＝０＋ｎ{ ，解得 ｍ＝４，ｎ＝３{ ，故 Ｃ３（４，０），Ｄ３（０，３）                           ． 　针对训练 １．（２０２３济南莱芜期中改编）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ｙ＝２ｘ＋４的图象经过 点Ｃ（０，４），与反比例函数ｙ＝１６ｘ（ｘ＞０）的图象交于点Ａ，与ｘ轴交于点Ｂ．设Ｍ是反比例函 数ｙ＝１６ｘ（ｘ＞０）图象上一点，Ｎ是直线ＡＢ上一点，若以点Ｏ，Ｍ，Ｃ，Ｎ为顶点的四边形是平行 四边形，求点Ｎ的坐标． 第１题图 解：设点Ｍ（ｍ，１６ｍ），Ｎ（ｎ，２ｎ＋４）， ①以ＯＣ和 ＭＮ为对角线时， ｍ＋ｎ＝０， １６ ｍ＋２ｎ＋４＝４＋０{ ，解得 ｍ＝２槡２，ｎ＝－２槡