专题04 备数中的面积问题-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题四　函数中的面积问题 　能力突破 有一边在坐标轴上 有一边平行坐标轴 Ｓ＝１２ＡＢ·ＣＤ＝ １ ２｜ｘＢ－ｘＡ｜·｜ｙＣ｜ Ｓ＝１２ＡＢ·ＣＤ＝ １ ２｜ｙＢ－ｙＡ｜·｜ｘＣ｜ Ｓ＝１２ＡＢ·ＣＤ＝ １ ２｜ｘＢ－ｘＡ｜·｜ｙＣ－ｙＡ｜ Ｓ＝１２ＡＢ·ＣＤ＝ １ ２｜ｙＢ－ｙＡ｜·｜ｘＣ－ｘＡ｜ 斜三角形（三边均不与坐标轴平行） 宽高法 补全分割法 Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＱ＋Ｓ△ＢＱＣ＝ １ ２｜ｘＣ－ｘＡ｜· ｜ｙＢ－ｙＱ｜ Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ矩形ＤＢＦＥ－Ｓ△ＡＢＤ－ Ｓ△ＡＥＣ－Ｓ△ＢＦＣ Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ△ＡＯＢ ＋ Ｓ△ＢＯＣ －Ｓ△ＡＯＣ 　典例精析 例　（多解法）如图，抛物线ｙ＝－ｘ２－３ｘ＋４与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，与ｙ轴交于点Ｃ，点Ｐ为第 二象限内抛物线上一点，连接ＰＡ，ＰＣ，设△ＡＰＣ的面积为Ｓ．求Ｓ的最大值． 【思路点拨】观察可知△ＡＰＣ为斜三角形，可用补全分割法或宽高法进行计算，设Ｐ点坐标为 （ｍ，－ｍ２－３ｍ＋４），若用补全分割法，则要连接ＯＰ，可得Ｓ＝Ｓ△ＡＰＯ＋Ｓ△ＣＰＯ－Ｓ△ＡＯＣ；若用宽高 法，则作ＰＤ⊥ｘ轴，交ＡＣ于点Ｑ，可得Ｓ＝Ｓ△ＡＰＱ＋Ｓ△ＣＰＱ，进而得到Ｓ关于ｍ的函数关系式，求 最值即可． 例题图 【自主作答】 解：解法一：如解图，连接ＯＰ， 易得Ａ（－４，０），Ｃ（０，４），设Ｐ点坐标为（ｍ，－ｍ２－３ｍ＋４）． ∴Ｓ＝Ｓ△ＡＰＯ＋Ｓ△ＣＰＯ－Ｓ△ＡＯＣ＝ １ ２ＡＯ·ｙＰ＋ １ ２ＣＯ·｜ｘＰ｜－ １ ２ＯＡ·ＯＣ＝ １ ２×４（－ｍ ２ －３ｍ＋４）＋１２×４（－ｍ）－ １ ２×４×４＝－２ｍ ２－８ｍ＝－２（ｍ＋２）２＋８， ∴当ｍ＝－２时，Ｓ有最大值，最大值为８． 其他解法详见本书Ｐ９５． ８ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 　针对训练 １．（２０２３恩施州改编）如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，Ｏ为坐标原点，直线ｙ＝ｘ＋２交ｙ轴于 点Ａ，交ｘ轴于点Ｂ，与双曲线ｙ＝８ｘ在一，三象限内分别交于Ｃ，Ｄ两点，连接ＣＯ，ＤＯ． 第１题图 求△ＣＤＯ的面积． 解：令ｙ＝０，得ｘ＝－２，∴Ｂ（－２，０）， 由 ｙ＝ｘ＋２， ｙ＝８{ ｘ 得 ｘ＝２，ｙ{ ＝４或 ｘ＝－４，ｙ＝－２{ ，∴Ｃ（２，４），Ｄ（－４，－２）， ∴Ｓ△ＤＯＣ＝Ｓ△ＤＯＢ＋Ｓ△ＣＯＢ＝ １ ２×２×２＋ １ ２×２×４＝２＋４＝６，∴△ＣＤＯ的面积是６． ２．（２０２３菏泽模拟改编）如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３经过Ａ（－３，０），Ｂ（１，０）两点．Ｐ为抛物线 在第二象限内的一点，若△ＰＡＣ的面积为３，求点Ｐ的坐标． 第２题图 解：把Ａ（－３，０），Ｂ（１，０）代入抛物线的解析式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３， 得 ９ａ－３ｂ＋３＝０， ａ＋ｂ＋３＝０{ ， 解得 ａ＝－１，ｂ＝－２{ ，∴抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３； 如解图，过点Ｐ作ＰＱ∥ｙ轴，交ＡＣ于点Ｑ， ∵Ａ（－３，０），Ｃ（０，３），∴直线ＡＣ的解析式为ｙ＝ｘ＋３， 设Ｐ点坐标为（ｘ，－ｘ２－２ｘ＋３），则Ｑ点坐标为（ｘ，ｘ＋３）， ∴ＰＱ＝－ｘ２－２ｘ＋３－（ｘ＋３）＝－ｘ２－３ｘ，∴Ｓ△ＰＡＣ＝ １ ２ＰＱ·｜ｘＣ－ｘＡ｜， ∴１２（－ｘ ２－３ｘ）×３＝３，解得ｘ１＝－１，ｘ２＝－２． 当ｘ＝－１时，Ｐ点坐标为（－１，４），当ｘ＝－２时，Ｐ点坐标为（－２，３）， 综上所述，点Ｐ的坐标为（－１，４）或（－２，３）． ３．（２０２３德州模拟改编）如图，抛物线ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３交ｘ轴于点Ａ、点Ｂ，与ｙ轴交于点Ｃ．在 ｘ轴上有一动点Ｅ（ｍ，０）（０＜ｍ＜３），过点Ｅ作直线ＭＥ⊥ｘ轴，交抛物线于点Ｍ．连接ＢＣ， ＢＣ与ＭＥ交于点Ｆ，连接ＡＦ，△ＡＣＦ和△ＢＦＭ的面积分别为Ｓ１和Ｓ２，当Ｓ１＝４Ｓ２时，求点Ｅ 的坐标． 第３题图 解：对于ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３，当ｙ＝０时，ｘ＝－１或３，当ｘ＝０时，ｙ＝３， ∴Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），Ｃ（０，３）． 设直线ＢＣ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），则 ３ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝３{ ， 解得 ｋ＝－１，ｂ＝３{ ， ∴直线ＢＣ的解析式为ｙ＝－ｘ＋３， ∵Ｅ（ｍ，０），ＭＥ⊥ｘ轴，∴Ｍ（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋３），Ｆ（ｍ，－ｍ＋３）， 又∵Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），Ｃ（０，３）， ∴ＡＢ＝３－（－１）＝４，ＯＣ＝３，ＥＦ＝－ｍ＋３，ＭＦ＝－ｍ２＋２ｍ＋３－（－ｍ＋３）＝－ｍ２＋３ｍ，ＢＥ＝３－ｍ， ∴Ｓ１＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＢＦ＝ １ ２ＡＢ·（ＯＣ－ＥＦ）＝ １ ２×４×［３－（－ｍ＋３）］＝２ｍ， Ｓ２＝ １ ２ＭＦ·ＢＥ＝ １ ２×（－ｍ ２＋３ｍ）（３－ｍ）， ∵Ｓ１＝４Ｓ２，∴２ｍ＝４× １ ２（－ｍ ２＋３ｍ）（３－ｍ），化简得ｍ（ｍ２－６ｍ＋８）＝０，