专题03 函数中的线段问题-【一战成名新中考】2024山东中考数学·培优册

培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 专题三　函数中的线段问题 　典例精析 例　（优质原创）如图，在平面直角坐标系中，点Ａ的坐标为（－１，０），点Ｂ的坐标为（３，０），点Ｃ 的坐标为（０，３）． （１）点Ｄ为ｘ轴上一点，当ＡＤ＝ＣＤ时，求点Ｄ的坐标； 【思路点拨】设点Ｄ的坐标为（ｍ，０），根据两点间距离公式可用含ｍ的式子表示出ＡＤ、ＣＤ的 长度，根据ＡＤ＝ＣＤ列方程，再解方程即可． 例题图 【自主作答】 解：设点Ｄ的坐标为（ｍ，０）， ∵点Ａ的坐标为（－１，０），点Ｃ的坐标为（０，３）， ∴ＡＤ＝｜ｍ＋１｜，ＣＤ＝ ｍ２槡 ＋９， ∵ＡＤ＝ＣＤ， ∴点Ｄ的坐标为（４，０）． 【思考１】若点Ｄ在某一函数图象上，当ＡＤ＝ＣＤ时，点Ｄ的坐标该如何求呢？ 思路：设出点Ｄ的横坐标，根据点Ｄ所在函数图象的解析式表示出点Ｄ的纵坐标，根据ＡＤ＝ＣＤ列方程， 再解方程即可． （２）若点Ｍ为第一象限内直线ＢＣ上方的点，且纵坐标为４，ＭＮ∥ｙ轴，且交直线ＢＣ于点Ｎ， 当ＭＮ＝３时，求点Ｎ的坐标． 【思路点拨】根据ＭＮ∥ｙ轴且点Ｍ在直线ＢＣ上方可知ＭＮ＝ｙＭ－ｙＮ，由此可求出点Ｎ的纵 坐标，代入直线ＢＣ的解析式中即可求出点Ｎ的横坐标． 【自主作答】 解：∵点Ｍ的纵坐标为４，ＭＮ＝３，∴点Ｎ的纵坐标为１， ∵Ｂ（３，０），Ｃ（０，３），∴直线ＢＣ的解析式为ｙ＝－ｘ＋３， 令ｙ＝１，则－ｘ＋３＝１，解得ｘ＝２，∴点Ｎ的坐标为（２，１）． （３）点Ａ和点Ｂ关于直线ｌ对称，点Ｐ在直线ｌ上，求使得ＰＡ＋ＰＣ最小时，点Ｐ的坐标； 【思路点拨】点Ａ和点Ｂ关于直线ｌ对称，则ＰＡ＝ＰＢ，即ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＢ＋ＰＣ，当Ｐ、Ｂ、Ｃ三点共 线时，ＰＡ＋ＰＣ最小，求直线ＢＣ与直线ｌ的交点即可． 【自主作答】 解：如解图，连接ＢＣ，交直线ｌ于点Ｐ， 此时ＰＡ＋ＰＣ最小，则ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＢ＋ＰＣ＝ＢＣ． ∵Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），∴直线ｌ为ｘ＝１，∴点Ｐ的横坐标为１， 当ｘ＝１时，ｙ＝－１＋３＝２，∴点Ｐ的坐标为（１，２）． 【思考２】若点Ｄ为第一象限内的一个定点，点Ｐ为ｘ轴上的动点，当ＰＣ＋ＰＤ最小时，如何确 定点Ｐ的位置？ 思路：作点Ｃ关于ｘ轴的对称点Ｃ′，连接Ｃ′Ｄ，交ｘ轴于点Ｐ，此时的点Ｐ即为所求． ５ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 　针对训练 １．如图，在平面直角坐标系中，直线ｌ１：ｙ＝－ｘ＋５与ｙ轴交于点Ａ，直线ｌ２与ｘ轴、ｙ轴分别交 于点Ｂ（－４，０）和点Ｃ，且与直线ｌ１交于点Ｄ（２，ｍ）． （１）求直线ｌ２的解析式； （２）若点Ｅ为线段ＢＣ上一个动点（与点Ｂ，Ｃ不重合），过点Ｅ作ＥＧ∥ｙ轴，且与直线ｌ１交于 点Ｇ，当ＥＧ＝６时，求点Ｇ的坐标． 第１题图 解：（１）∵当ｘ＝２时，ｙ＝－２＋５＝３＝ｍ，∴Ｄ（２，３）． 设直线ｌ２的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），由题意得 ２ｋ＋ｂ＝３， －４ｋ＋ｂ＝０{ ，解得 ｋ＝１２， ｂ＝２{ ， ∴直线ｌ２的解析式为ｙ＝ １ ２ｘ＋２； （２）∵ＥＧ∥ｙ轴，∴点Ｇ，Ｅ的横坐标相同．设Ｇ（ｎ，－ｎ＋５），则Ｅ（ｎ，１２ｎ＋２）， ∴ＥＧ＝－ｎ＋５－（１２ｎ＋２）＝－ ３ ２ｎ＋３＝６，解得ｎ＝－２，∴Ｇ（－２，７）． ２．（多解法·优质原创）如图，在平面直角坐标系中，直线ｙ＝ｘ＋８交ｘ轴于点Ｂ，交ｙ轴于点 Ａ，Ｐ是线段ＡＢ上的一个动点（与点Ａ、Ｂ不重合）．当ＰＯ＝ＰＡ时，求点Ｐ的坐标． 第２题图 解：解法一：令ｘ＝０，则ｙ＝０＋８＝８， ∴点Ａ的坐标为（０，８）． ∵ＰＯ＝ＰＡ，∴点Ｐ在线段ＯＡ的垂直平分线上， ∴ｙＰ＝ ｙＯ＋ｙＡ ２ ＝４， 令４＝ｘ＋８，解得ｘ＝－４， ∴点Ｐ的坐标为（－４，４）． 其他解法详见本书Ｐ９５． ３．如图，在平面直角坐标系中，双曲线 ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）经过 Ｂ、Ｃ两点，△ＡＢＣ为直角三角形， ∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＣ∥ｘ轴，ＡＢ∥ｙ轴，Ａ（４，６），ＡＣ＝２． （１）求反比例函数的表达式及点Ｂ的坐标； （２）点Ｍ是ｙ轴正半轴上的动点，连接ＭＢ、ＭＣ，求ＭＢ＋ＭＣ的最小值． 第３题图 解：（１）∵ＡＣ∥ｘ轴，ＡＢ∥ｙ轴，Ａ（４，６），ＡＣ＝２，∴Ｃ（２，６），点Ｂ的横坐标为４， ∴ｋ＝２×６＝１２，∴反比例函数的表达式为ｙ＝１２ｘ， ∵点Ｂ在反比例函数ｙ＝１２ｘ的图象上，∴Ｂ（４，３）； （２）如解图，作点Ｃ关于ｙ轴的对称点Ｎ，连接ＢＮ，则ＢＮ就是ＭＢ＋ＭＣ的最小值． ∵Ｃ（２，６），∴Ｎ（－２，６），∵Ｂ（４，３），∴ＢＮ＝ ６２＋３槡 ２＝３槡５， ∴ＭＢ＋ＭＣ的最小值为３槡５． ６ 培优册·山东数学 模 型 方 法 篇 ４．【一题多设问】（优质原创）如图①，抛物线ｙ＝－ｘ２－３ｘ＋４与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，与ｙ轴交 于点Ｃ，连接ＡＣ． （１）抛物线的顶点坐标为　　　　　　，点