2024年九年级数学中考复习 二次函数与面积问题综合压轴题 专题训练 (1)

2024年九年级数学中考复习 二次函数与面积问题综合压轴题 专题训练 1．如图，二次函数的图象与轴交于点，，顶点为．点在抛物线上（不与，重合），连接，．    (1)求二次函数解析式； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)设直线交轴于点，过点作轴，垂足为，连接，，求证：． 2．已知抛物线的解析式为 （1）求证：不论m为何值，此抛物线与x轴必有两个交点，且两交点A、B之间的距离为定值； （2）设点P为此抛物线上一点，若△PAB的面积为8，求符合条件的点P的坐标； （3）若（2）中△PAB的面积为S（S>0），试根据面积S值的变化情况，确定符合条件的点P的个数（本小题直接写出结论，不要求写出计算、证明过程）. 3．已知二次函数(a、m为常数，且a0)． (1)求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点； (2)设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D． ①当△ABC的面积等于1时，求a的值； ②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值． 4．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点，且． (1)求经过C、A、B三点的抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为F，证明直线与相切； (3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？若存在，求出面积的最大值，并求出此时点N坐标；若不存在，请说明理由． 5．抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴于点．                               (1)直接写出点，的坐标； (2)如图1，直线经过点，交抛物线于另一点，点在抛物线上，满足的面积与的面积相等，求点的横坐标； (3)如图2，将抛物线向上平移，使其顶点在轴上，得到抛物线．，是抛物线上两点（点在点左侧），直线交抛物线对称轴于点，过点作轴的平行线分别交轴，直线于，两点，交轴于点，求证：． 6．如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长； (4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 7．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点为抛物线的顶点，为线段中点. （1）求的值； （2）求证：； （3）以抛物线的顶点为圆心，为半径作，点是圆上一动点，点为的中点（如图2）； ①当面积最大时，求的长度； ②若点为的中点，求点运动的路径长. 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点记为，自变量和对应的函数值相等．若点在直线：上，点在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴右侧轴上方的图象上任一点为，在轴上有一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出相应的点横坐标的取值范围； （3）直线与抛物线另一点记为，为线段上一动点（点不与重合）．设点坐标为，过作轴于点，将以点，，，为顶点的四边形的面积表示为的函数，标出自变量的取值范围，并求出可能取得的最大值． 9．已知二次函数图象的顶点在原点，且点在此二次函数的图象上．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，直线与二次函数的图象交于A、B两点（点C在直线下方），若,求m的值； (3)如图2，直线与二次函数的图象交于D、E两点，过点D的直线交二次函数的图象于点F，求证：直线过定点． 10．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C，经过定点D的直线交抛物线C于A、B两点（点A在点B的左侧），点O为坐标原点．    (1)直接写出抛物线C的解析式和定点D的坐标； (2)用字母S表示三角形的面积，若，请补充图1，求k的值； (3)若，直线交抛物线C于A、B两点（点A在点B的左侧），点P的坐标是，不平行y轴的直线l分别交线段、（不含端点）于M、N两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值． 11．我们不妨约定在二次函数中，若，则把该函数称之为“明麓函数”，根据该约定，完成下列各题． (1)在下列关于的函数中，若是“明麓函数”的，请在相应题目后的括号中打“√”，若不是“明麓函数”的，请在相应的题目后打“×”． ①（　　）②（　　）③（　　） (2)求证：“明麓函数”与直线总有两个不同的交点． (3)已知“明麓函数”与直线相交于A、B两点，P是“明麓函数”上的一个动点，并在直线的下方，求面积的最大值． 12．已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直线为坐标轴，建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于