河北省石家庄市第二中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟测试数学试卷

河北省石家庄二中2024届高三第一模拟测试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知（为虚数单位），则（    ） A．2 B． C．4 D．5 2．已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前项和，若，数列的前项和为，且，则正整数的值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 6．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（    ） A． B． C． D．3 7．已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 8．已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，是上位于直线两侧的点，且点到直线与直线的距离相等，则直线与轴交点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 10．从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字，，记点，，，则（   ） A．是锐角的概率为 B．是锐角的概率为 C．是锐角三角形的概率为 D．的面积不大于5的概率为 11．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次记为，若的最小值为，则（） A． B．为钝角 C． D．若点，在上，且为的重心，则 12．已知，函数，则（    ） A．对任意，，存在唯一极值点 B．对任意，，曲线过原点的切线有两条 C．当时，存在零点 D．当时，的最小值为1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，若的展开式中含项的系数为40，则 . 14．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是 . 15．已知三棱锥顶点均在一个半径为5的球面上，，P到底面ABC的距离为5，则的最小值为 ． 16．已知定义在上的函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是 ． 4、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．（本题10分）设等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 18．（本题12分）已知中，角所对的边分别为. (1)求； (2)设是边上的点，且满足，求内切圆的半径. 19．（本题12分）在直角梯形中，，，，如图（1）．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD． (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 20．（本题12分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为． (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值． 21．（本题12分）已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为． (1)求双曲线的标准方程． (2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若． ①求证：为定值； ②若直线AB​的斜率为−1​，求点P​的坐标． 22．（本题12分）已知定义在上的函数和. (1)求证：； (2)设在存在极值点，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 2．C 3．C 4．B 5．D 6．D 【详解】根据题意，将，代入可得； 将，代入可得； 所以可知. 故选：D 7．B 【详解】由题意得， 设点到平面的距离为，则由等体积转化法为， 当与重合时，最大，最大为， 此时最小，为. 故选：B. 8．A 【详解】将代入中，得