重难点12 与圆相关的6种模型（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、阿基米德折弦定理）-2024年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

重难点突破12 与圆有关的6种模型 （四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理）目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 题型01 四点共圆 1. 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）. 适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆. 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义） 若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆. 反证法 若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆. 反证法 同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆. 反证法 共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆. 适用范围：双直角三角形共斜边模型. 连接AO、OD 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AO=BO=CO=DO ∴点A、B、C、D四点共圆 在⊙O中，若弦AB、CD相交于点P,且AP•DP=BP•CP，则A,B,C,D四点共圆（相交弦定理的逆定理） 在△APB和△CPD中 AP•DP=BP•CP ∠3=∠4 ∴△APB∽△CPD ∴∠1=∠2 则A、B、C、D四点共圆 在⊙O中，若AB、CD两线段延长后相交于点P,且AP•BP=DP•CP，则A,B,C,D四点共圆（割线定理） 在△APC和△DPB中 AP•BP=CP•DP ∠P=∠P ∴△APC∽△DPB ∴∠1=∠3 而∠2+∠3=180° ∴∠1+∠2=180° 则A、B、C、D四点共圆 若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理). 【扩展】 托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 证明:过点C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4， ∴△ACD∽△BCP.∴，则AC·BP=AD·BC ①. ∵∠1=∠2 ∴∠1+∠ACP=∠2+∠ACP 则∠ACB=∠DCP 而∠5=∠6 ∴△ACB∽△DCP.∴，则AC·DP=AB·CD ②. ①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC 2. 四点共圆的性质 1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）； 2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）； 3) 圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）. 1．（2020·山东东营·东营市实验中学校考三模）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF．给出以下五个结论：①∠AND＝∠MPC；②；③△ABM≌△NGF；④；⑤A，M，P，D四点共圆．其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 3．（2019·浙江嘉兴·统考二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED． （1）CD的长是 ； （2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ． 4．（2021上·山东烟台·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是 ． 5．（2023下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出  如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． 尝试应用  如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：． 问题拓展  如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）． 6．（2022上·江苏盐城·九年级校考期中）如图，以点为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B