2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数与特殊三角形

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数与特殊三角形 一、解答题 1．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣4，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的解析式； （2）连接AC、BC，判断△ABC的形状，并证明； （3）若点P为二次函数对称轴上点，求出使△PBC周长最小时，点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+x+2与x轴相交于点A、B，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点N，交线段AC于点M．点F是线段MA上的动点，连接NF，过点N作NG⊥NF交△ABC的边于点G． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）当点G在边BC上时，连接GF，∠NGF的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠NGF的正切值； （3）设点F的横坐标为n，点G的纵坐标为m，在整个运动过程中，直接写出m与n的函数关系式，并注明自变量n的取值范围． 3．已知一次函数y＝x+1与抛物线y＝x2+bx+c交A（m，9），B（0，1）两点，点C在抛物线上且横坐标为6． （1）写出抛物线的函数表达式； （2）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （3）平面内是否存在点Q在直线AB、BC、AC距离相等，如果存在，请直接写出所有符合条件的Q的坐标，如果不存在，说说你的理由． 4．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点A（﹣1，0），且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是顶点． （1）填空：a=_____；顶点D的坐标为______；直线BC的函数表达式为：_________． （2）直线x=t与x轴相交于一点． ①当t=3时得到直线BN（如图1），点M是直线BC上方抛物线上的一点． 若∠COM=∠DBN，求出此时点M的坐标． ②当1＜t＜3时（如图2），直线x=t与抛物线、BD、BC及x轴分别相交于点P、E、F、G，3试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为0.6，求此时t的值． 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A(-1，0)． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断的形状，并证明你的结论； （3）点是轴上的一个动点， ①当的值最小时， ； ②过点作轴，交抛物线于点，连接，面积的最大值为 ； （4）为坐标轴上一点，在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形为矩形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（11，﹣）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，8）． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明； （3）连接AC，在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形； （3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线 y＝ax2+x+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（2，0）、C（0，﹣4），直线 l：y＝﹣x﹣4 与 x 轴交于点 D，点 P 是抛物线 y＝ax2+ x+c 上的一动点，过点 P 作 PE⊥x 轴，垂足为 E，交直线 l 于点 F． （1）试求该抛物线表达式； （2）如图 1，若点 P 在第三象限，四边形 PCOF 是平行四边形，求 P 点的坐标； （3）如图 2，过点 P 作 PH⊥y 轴，垂足为 H，连接 AC． ①求证：△ACD 是直角三角形； ②试问是否存在这样的点 P，使得以点 P、C、H 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点． (1)求证：； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 10．已知二次函数（是常数）． （1）求证：不论为何值，该二次函数图像与轴总有两个公共点； （2）二次函数的图像与轴交于点，顶点为，将二次函数的图像沿轴翻折，所得图像的顶点为，